Matematyka.pl

Cześć!

Mam polecenie, żeby zbadać z definicji, czy podany punkt jest granicą ciągu:

\(\displaystyle{ b = (1, 2, 3) \qquad b^k = (\frac{k^3 + 4}{k^3}, \frac{k^2 + k}{k^3}, \frac{3k + 1}{k})}\)

Normalnie licząc, widać, że nie jest, bo druga współrzędna się nie zgadza.

Definicja:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0} \bigvee\limits_{N \in \mathbb{N}}\bigwedge\limits_{k > N} \qquad d(a^k, a) < \varepsilon}\)

Używamy w tych zadaniach metryki euklidesowej. Liczę odległość i udaje mi się ją ograniczyć w ten sposób:

\(\displaystyle{ d(b^k, b) \leq \sqrt{21}}\)

Sugeruje to, że będzie można podać jako kontprzykład \(\displaystyle{ \varepsilon = 5}\). Ale próbuję jeszcze ograniczyć z dołu, żeby zapisać to za pomocą nierówności w drugą stronę pod kwantyfikatorami. Dochodzę do:

\(\displaystyle{ d(b^k, b) = \sqrt{\frac{16}{k^6} + (\frac{2k^2 - k - 1}{k^2})^2 + \frac{1}{k^2}}}\)

Moje pytanie brzmi: jak to ograniczyć z dołu, żeby udowodnić, że ten punkt nie jest granicą ciągu?

Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję.

Tzncioe pisze: ↑11 kwie 2021, o 13:05 Sugeruje to, że będzie można podać jako kontprzykład \(\displaystyle{ \varepsilon = 5}\).

Raczej nie bo \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right) \rightarrow 2}\) zatem \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right) \ge 5}\) nie będzie zachodzić dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ k}\) zatem na pewno nie zajdzie \(\displaystyle{ \left( \forall N\in \NN\right) \left( \exists k>N\right)d\left( b_k,b\right) \ge 5 }\). Wydaje mi się, że mylisz kierunki oszacowania. Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ b_k\not\to b}\) czyli równoważnie, że \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)\not\to 0 }\) czyli chcemy \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)}\) oddzielić z dołu od zera. W sensie wystarczy po postu zauważyć, że \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right) \rightarrow 2}\) i już ale jest chcesz konstruktywnie wskazać \(\displaystyle{ \varepsilon}\) to kandydatem jest \(\displaystyle{ \inf_{k\in \NN} d\left( b_k,b\right) }\) (tak jak w innym przykładzie). Tak czy inaczej pozostanę przy tym, że \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)\not\to 0 }\).

A można też tak: \(\displaystyle{ 0<\frac{k^2+k}{k^3}\leq \frac{2k^2}{k^3}\leq 1}\) dla `k>1`< więc
\(\displaystyle{ d(b,b^k)=\sqrt{...+\left(2-\frac{k^2+k}{k^3}\right)^2+...}\geq 2-\frac{k^2+k}{k^3}>1}\)