Matematyka.pl

Dzień dobry, mam problem z rozwiązaniem zadania o następującej treści: Cylinder grubościenny o promieniu wewnętrznym 𝑟1=20mm i promieniu zewnętrznym 𝑟2=50mm zbudowany jest z materiału kompozytowego warstwowego, gdzie warstwa na bazie stopu aluminium i miedzi ma promień zewnętrzny 𝑟3=30mm i połączona jest z warstwą z borku tytanu TiB2. Na ściankę wewnętrzną cylindra wywierane jest ciśnienie pw=4 MPa, natomiast na ściankę zewnętrzną ciśnienie pz=1 MPa. Wyznaczyć rozkłady naprężeń 𝜎𝑟(𝑟), 𝜎𝜑(𝑟)oraz 𝜎𝐻𝑀𝐻(𝑟).Porównać wyniki przyjmując regułę homogenizacji Reussa. Przyjąć nieskończoną długość cylindra oraz płaski stan odkształcenia. 𝐸𝑐=565GPa, 𝜈𝑐=0.108, 𝐸𝑚=70.6GPa,𝜈𝑚=0.33.

Jak rozumiem początkowo należy rozdzielić ów cylinder na 2 osobne, a następnie wypisać warunki:
m-matryca(środkowy cylinder), z-zbrojenie(zewnętrzny cylinder)
\(\displaystyle{ u ^{m}(r3)=u ^{z}(r3) }\)
\(\displaystyle{ σr ^{m}(r1)=Pw }\)
\(\displaystyle{ σr ^{m}(r3)=-Pz }\)
\(\displaystyle{ σr ^{z}(r3)=Pw }\)
\(\displaystyle{ σr ^{z}(r2)=-PZ }\)

Pierwsze pytanie, czy te warunki są poprawne? Drugie natomiast o wiele ważniejsze, jaki jest następny krok aby wyznaczyć rozkłady naprężeń 𝜎𝑟(𝑟), 𝜎𝜑(𝑟)oraz 𝜎𝐻𝑀𝐻(𝑟) ? Z góry dziękuje za pomoc i Pozdrawiam.

Bardzo ciekawe zadanie, rzadko się takie spotyka. Z jakiego to przedmiotu jeśli można spytać ?

Przesyłam link do interesującego artykułu na ten temat ("Badanie rozkładu naprężeń w wielowarstwowej rurze kompozytowej" P. Krysiak, A. Błachut):

Mogę się też podzielić wynikami analizy MES, gdyż taką przeprowadziłem dla tego przypadku. Takie rozkłady naprężeń mi wyszły:


A co do homogenizacji metodą Reussa to proponuję zajrzeć do książki Mechanika nowoczesnych materiałów" A. Ganczarski, J. Skrzypek. Jest dostępna w formie darmowego pdf-a na stronie Politechniki Krakowskiej.

Dziękuje za odpowiedź.
Przedmiot to podstawy mechaniki nowoczesnych materiałów.

A, to zdaje się, że akurat książka, którą wcześniej podałem ("Mechanika nowoczesnych materiałów" A. Ganczarski, J. Skrzypek) jest właśnie skryptem do tego przedmiotu. Tak by przynajmniej wynikało z jej wstępu.