Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie ustaloną liczbą naturalną i niech:
\(\displaystyle{ \ZZ_n=\{0,1,...,n-1\}}\)
\(\displaystyle{ a +_n b = (a+b) \bmod n}\)

Należy pokazać, że \(\displaystyle{ (\ZZ_n, +_n)}\) jest grupą.

Nie umiem dla tej grupy pokazać, że jej działanie jest łączne.

Ustalmy \(\displaystyle{ a,b,c\in\ZZ_n}\). Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\)

co łatwo widać jako, że \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) praktycznie z definicji.

Janusz Tracz pisze: 4 kwie 2021, o 18:37 Ustalmy \(\displaystyle{ a,b,c\in\ZZ_n}\). Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\)

co łatwo widać jako, że \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) praktycznie z definicji.

W jaki sposób \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) pozwala nam udowodnić \(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\) ?

bosendorfer pisze: 4 kwie 2021, o 18:53W jaki sposób \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) pozwala nam udowodnić \(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\) ?

A rozpisałeś, z definicji podzielności, co to oznacza?

JK

Jan Kraszewski pisze: 4 kwie 2021, o 19:10

bosendorfer pisze: 4 kwie 2021, o 18:53W jaki sposób \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) pozwala nam udowodnić \(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\) ?

A rozpisałeś, z definicji podzielności, co to oznacza?

JK

Co to znaczy "rozpisać z definicji podzielności"? Chodzi o zauważenie, że \(\displaystyle{ (a+b-(a+b)\bmod n)}\) to jakaś wielokrotność \(\displaystyle{ n}\)? Nadal nie wiem jak to dalej pociągnąć

Co to znaczy "rozpisać z definicji podzielności"?

To znaczy, że masz jakąś definicję (najlepiej będzie jak ją zacytujesz). I do tej definicji podstawiasz obiekty co do których masz podejrzenia, że ów definicję spełniają. Może zacznij od formalnego uświadomienia sobie czym jest napis \(\displaystyle{ a\text{ mod }n}\). Potem co oznacza zapis \(\displaystyle{ a|b}\). I na tej podstawie sprawdź, że zachodzi \(\displaystyle{ n|(\xi - \xi \text{ mod }n ) }\). Oczywiście niech \(\displaystyle{ a,b,n,\xi \in \NN}\).

Dodano po 31 sekundach:

bosendorfer pisze: 4 kwie 2021, o 19:58 Chodzi o zauważenie, że \(\displaystyle{ (a+b-(a+b)\bmod n)}\) to jakaś wielokrotność \(\displaystyle{ n}\)?

W zasadzie tak.

Równie dobrze równość

\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\bmod{n}+c \right)\bmod{n} = \left( a+b+c\right) \bmod{n} }\)

można udowodnić wprost z definicji (i to dość szybko), jeżeli zrozumienie kroku pośredniego sprawia Ci trudność.

JK