Matematyka.pl

Witam, mam dość podstawowe dla niektórych pytanie. We wszystkich poniższych równaniach mamy dziedzinę \(\displaystyle{ x \in \RR}\).

\(\displaystyle{ \sin(x)= \frac{1}{5} }\)

\(\displaystyle{ \cos(x)= \frac{-19}{20} }\)

\(\displaystyle{ \tg(x)= \frac{-121}{3} }\)

I moje pytanie brzmi tak: Jak obliczyć \(\displaystyle{ x}\) za pomocą funkcji cyklometrycznych?

Lemat: Niech \(\displaystyle{ w\in \left[ -1,1\right] }\) oraz \(\displaystyle{ x_0}\) będzie liczbą taką, że \(\displaystyle{ \sin x_0=w}\). Wtedy wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ \sin x=w}\) mają postać \(\displaystyle{ x_k=(-1)^kx_0+k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\). Co więcej można przyjąć \(\displaystyle{ x_0=\arcsin w}\).

Spróbuj na tej podstawie rozwiązać pierwsze równanie. A potem dopisz podobne lematy do \(\displaystyle{ \cos}\) oraz \(\displaystyle{ \tg}\).

O dobra, to dziękuję bardzo za pomoc, sin dam radę już samemu doliczyć, że \(\displaystyle{ x=(-1)^{k}\cdot\arcsin (0.2) + k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitego

Czy zatem w zadaniu z cosinusem lemat będzie taki?

Lemat: Niech \(\displaystyle{ w\in \left[ -1,1\right] }\) oraz \(\displaystyle{ x_0}\) będzie liczbą taką, że \(\displaystyle{ \cos x_0=w}\). Wtedy wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ \cos x=w}\) mają postać \(\displaystyle{ x_k=(-1)^k\cdot\arccos w+(1-(-1)^{k})\cdot k \pi }\) dla \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\) .

I tangens

Lemat: Niech \(\displaystyle{ w\in \RR }\) oraz \(\displaystyle{ x_0}\) będzie liczbą taką, że \(\displaystyle{ \tg x_0=w}\). Wtedy wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ \tg x=w}\) mają postać \(\displaystyle{ x_k=\arctg w+k \pi }\) dla \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\) .

No coś takiego. Nie wiem czy w kosinusie czegoś nie zgubiłeś. W sensie jeśli nie to ok ale ta postać mnie zaskoczyła, a nie chce mi się przeliczyć. Ja bym napisał \(\displaystyle{ x_k= \pm \arccos w+2k\pi }\). To powinno działać.