Matematyka.pl

Wiem, że \(\displaystyle{ x_{n}>0}\) oraz, że \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} x_n\leq \varepsilon^2}\). Dlaczego na tej podstawie można wnioskować, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_n =0}\)?

A może dodasz coś o \(\displaystyle{ \varepsilon}\)? Jakiś kwantyfikator?

JK

Działa to dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0.}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ 0 \le \lim_{n \to \infty }x_n \le \limsup_{n \rightarrow \infty } x_n \le \epsilon^2}\). Kładąc \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) dostajesz tezę.

Janusz Tracz pisze: 30 mar 2021, o 11:09 Zauważ, że \(\displaystyle{ 0 \le \lim_{n \to \infty }x_n \le \limsup_{n \rightarrow \infty } x_n \le \epsilon^2}\). Kładąc \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) dostajesz tezę.

TRochę manipulujesz. Twoja nierównośc zakłada istnienie granicy ciągu. Dowodzisz zatem twierdzenia: Jeżeli granica istnieje, to jest równa zero. A to za mało

Wskazówka:
Jeżli \(\displaystyle{ \limsup_n x_n\le \epsilon}\), to istnieje takie `N`, że dla `n>N` mamy `x_n<2\epsilon`

Można też wykazać to tak:

\(\displaystyle{ 0\leq \liminf_{n\to\infty}x_n \leq \limsup_{n\to\infty}x_n \leq 0}\)

Pierwsza nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ x_n>0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).
Trzecia nierówność wynika z warunku \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}x_n \leq \varepsilon^2}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).