Matematyka.pl

Można spróbować kontynuować rozwiązanie z poprzedniego posta. Układ \(a-2x=mb-2mx=2(1+m)x\) daje \(x=\frac{a+b-\sqrt{a^2-ab+b^2}}{6}\) oraz \(m=\frac{a-b+\sqrt{a^2-ab+b^2}}{b}\) (druga para rozwiązań w szczególności nie spełnia \(2x<a,b\)). Oznaczmy teraz \(k^2=\frac{a}{b}\). Mamy wtedy \(x=\frac{k^2+1-\sqrt{k^4-k^2+1}}{6}\cdot b\) oraz \(m=\sqrt{k^4-k^2+1}+k^2-1\), a także \[V=(a-2x)(b-2x)x\le b^3\left(k^2-\frac{k^2+1-\sqrt{k^4-k^2+1}}{3}\right)\left(1-\frac{k^2+1-\sqrt{k^4-k^2+1}}{3}\right)\cdot \frac{k^2+1-\sqrt{k^4-k^2+1}}{6}\]
Mamy też \(b^2=\frac{ab}{\frac{a}{b}}=\frac{S}{k^2}\), a stąd \(b^3=\frac{S^{3/2}}{k^3}\) i dalej \[\begin{aligned}\frac{V}{S^{3/2}}&\le\frac{\left(2k^2-1+\sqrt{k^4-k^2+1}\right)\left(2-k^2+\sqrt{k^4-k^2+1}\right)\left(k^2+1-\sqrt{k^4-k^2+1}\right)}{54k^3}\\&=\frac{2\sqrt{k^4-k^2+1}\cdot\left(k^4-k^2+1\right)-\left(2k^6-3k^4-3k^2+2\right)}{54k^3}\\&=\frac{2}{27}-\frac{\left(2k^6-3k^4+4k^3-3k^2+2\right)-2\sqrt{k^4-k^2+1}\cdot\left(k^4-k^2+1\right)}{54k^3}\\&=\frac{2}{27}-\frac{\left(2k^6-3k^4+4k^3-3k^2+2\right)^2-4\cdot\left(k^4-k^2+1\right)^3}{54k^3\left(\left(2k^6-3k^4+4k^3-3k^2+2\right)+2\sqrt{k^4-k^2+1}\cdot\left(k^4-k^2+1\right)\right)}\\&=\frac{2}{27}-\frac{(k-1)^2\left(16k^4+5k^3-30k^2+5k+16\right)}{54\left(\left(2k^6-3k^4+4k^3-3k^2+2\right)+2\sqrt{k^4-k^2+1}\cdot\left(k^4-k^2+1\right)\right)}\\&\le\frac{2}{27}\end{aligned}\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, bo \[16k^4+5k^3-30k^2+5k+16=k^4+5k^3+15\left(k^2-1\right)^2+5k+1>0\] oraz \[2k^6-3k^4+4k^3-3k^2+2=(k-1)^2\left(2k^4+4k^3+3k^2+4k+2\right)+2k^3>0.\]
Ostatecznie więc \(V\le\frac{2}{27}S^{3/2}\) z równością wtw, gdy \(a=b=6x=\sqrt{S}\), tzn. gdy arkusz jest kwadratem, a wycięte z naroży mniejsze kwadraty mają bok długości szóstej części boku arkusza.