Strona 1 z 1
Liczby naturalne
: 27 mar 2021, o 15:38
autor: Karolo2337
Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) spełniają równość
\(\displaystyle{ \text{NWW}\,(a, b) + \text{NWD}\,(a, b) = a + b}\).
Udowodnić że jedna z liczb \(\displaystyle{ a, b}\) dzieli drugą.
Re: Liczby naturalne
: 27 mar 2021, o 16:07
autor: Janusz Tracz
Bez straty ogólności można napisać, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \text{NWW}\,(a, b) + \text{NWD}\,(a, b) = a + b \\ \text{NWW}\,(a, b) \cdot \text{NWD}\,(a, b) = a \cdot b\end{cases} }\)
Bo to drugie równanie to znany fakt (jak bardzo będzie trzeba to chyba nawet go udowodnię). Z tego (chyba sprawdź) wynika, że:
\(\displaystyle{ \left\langle \text{NWW}\,(a, b) , \text{NWD}\,(a, b)\right\rangle =\left\langle a,b\right\rangle }\) lub symetrycznie
\(\displaystyle{ \left\langle \text{NWW}\,(a, b) , \text{NWD}\,(a, b)\right\rangle =\left\langle b,a\right\rangle }\). A z tego już mamy tezę.