pole rombu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

pole rombu

Post autor: robin5hood » 18 paź 2007, o 14:31

Oblicz pole rombu \(\displaystyle{ ABCD}\), wiedząc, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABD}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ R_c}\) i \(\displaystyle{ R_d}\)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

pole rombu

Post autor: jarekp » 18 paź 2007, o 14:47

oznaczenia:
AC=x
BD=y
bok rombu=a
S:=pole rombu

skorzystam ze wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{xa^2}{4R_c}}\) i \(\displaystyle{ P_{ABD}=\frac{ya^2}{4R_d}}\)

dodatkowo \(\displaystyle{ P_{ABD}=P_{ABC}=\frac{S}{2}=\frac{xy}{4}}\)
mamy więc

\(\displaystyle{ \frac{xy}{4}=\frac{xa^2}{4R_c}}\) i \(\displaystyle{ \frac{xy}{4}=\frac{ya^2}{4R_d}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y=\frac{a^2}{R_c}}\) i \(\displaystyle{ x=\frac{a^2}{R_d}}\)

mnożąc te dwie równości stronami i dzieląc przez 2 otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{a^4}{2R_c R_d}=\frac{xy}{2}=S}\)


ODPOWIEDZ