Nietrywialne pytanie o warunek Carathéodory'ego
: 26 mar 2021, o 12:36
Dzień dobry, narodziło mi się nagle pytanie z teorii miary związane z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałami zbioru \(\displaystyle{ X}\) które jest generowane przez miarę zewnętrzną.
Wiadomo że rodzina podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) którą oznaczmy jako \(\displaystyle{ A}\), której elementy spełniają warunek Carathéodory'ego dla danej miary \(\displaystyle{ \mu}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.
Teraz mi się pojawiło takie pytanie :
Mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i rodzinę podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) (oznaczmy jako A) taką że \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Pytanie : czy zawsze istnieje pewna miara zewnętrzna taka że rodzina zbiorów \(\displaystyle{ A}\) jest generowana przez warunek Carathéodory'ego.
W skrócie : mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i rodzinę podzbiorów \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\) która jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Czy istnieje pewna miara zewnętrzna taka że \(\displaystyle{ A}\) jest generowana przez warunek Carathéodory'ego.
Bardzo prosze o pomoc bądź wskazówki bądź namiary na materiały. Zadaję to pytanie matematykom z mojego wydziału ale albo otrzymuję wymijające odpowiedzi albo ich brak bądź intuicyjnie mówią "że pewnie nie". Intuicyjnie to mogę powiedzieć że wygląda to na dość mocny fakt i w książkach matematycznych pewnie w miejscu gdzie warunek Carathéodory'ego jest omawiany byłoby to wspomniane że takie coś zachodzi bądź nawet wykazane gdyby to było łatwe - jednak nie uzyskałem wskazówki nawet jak powinniśmy podejść do wykazania fałszywości tego pytania.
Wiadomo że rodzina podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) którą oznaczmy jako \(\displaystyle{ A}\), której elementy spełniają warunek Carathéodory'ego dla danej miary \(\displaystyle{ \mu}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.
Teraz mi się pojawiło takie pytanie :
Mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i rodzinę podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) (oznaczmy jako A) taką że \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Pytanie : czy zawsze istnieje pewna miara zewnętrzna taka że rodzina zbiorów \(\displaystyle{ A}\) jest generowana przez warunek Carathéodory'ego.
W skrócie : mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i rodzinę podzbiorów \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\) która jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Czy istnieje pewna miara zewnętrzna taka że \(\displaystyle{ A}\) jest generowana przez warunek Carathéodory'ego.
Bardzo prosze o pomoc bądź wskazówki bądź namiary na materiały. Zadaję to pytanie matematykom z mojego wydziału ale albo otrzymuję wymijające odpowiedzi albo ich brak bądź intuicyjnie mówią "że pewnie nie". Intuicyjnie to mogę powiedzieć że wygląda to na dość mocny fakt i w książkach matematycznych pewnie w miejscu gdzie warunek Carathéodory'ego jest omawiany byłoby to wspomniane że takie coś zachodzi bądź nawet wykazane gdyby to było łatwe - jednak nie uzyskałem wskazówki nawet jak powinniśmy podejść do wykazania fałszywości tego pytania.