Matematyka.pl

Cześć, proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch poniższych zadań. Z góry dziękuję

1. W wyniku zderzenia fotonu o energii \(\displaystyle{ E}\) ze spoczywającą cząstką o masie \(\displaystyle{ m}\) powstaje jedna
cząstka. Jaką ma masę i prędkość?
2. Cząstka o masie \(\displaystyle{ m}\) poruszająca się z prędkością \(\displaystyle{ 4c/5}\) zderza się z inną cząstką o masie \(\displaystyle{ m}\)
znajdującą się w spoczynku. W wyniku zderzenia powstaje foton o energii \(\displaystyle{ E}\) poruszający się w
kierunku prostopadłym do kierunku ruchu pierwotnej cząstki oraz cząstka o masie \(\displaystyle{ M}\) poruszająca
się w innym kierunku. Ile wynosi masa \(\displaystyle{ M}\) wyprodukowanej cząstki? Jaka jest maksymalna możliwa
energia fotonu \(\displaystyle{ E}\)?

\(\displaystyle{ E = \gamma \cdot m\cdot c^2 }\)

\(\displaystyle{ p = \gamma \cdot m\cdot v }\)

Dzielimy stronami równanie drugie przez pierwsze

\(\displaystyle{ \frac{p}{E} = \frac{v}{c^2} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ v = c^2 \cdot p \cdot \frac{1}{E_{całk}} }\)

\(\displaystyle{ E_{całk} = E + m\cdot c^2 }\)

\(\displaystyle{ v = c^2\cdot \frac{E}{c}\cdot \frac{1}{E + m\cdot c^2} = \frac{E\cdot c}{E + m\cdot c^2}. }\)

\(\displaystyle{ p = 0, \ \ E = m\cdot c^2 }\)

\(\displaystyle{ E^2 = m^2\cdot c^4 }\)

\(\displaystyle{ M^2 = \frac{E^2_{całk}}{p^4} - \frac{p^2}{c^2} }\)

\(\displaystyle{ M^2 = \frac{(E + mc^2)^2}{c^4} - \frac{E^2}{c^4} }\)

\(\displaystyle{ M^2 = \frac{E^2 + 2m\cdot E\cdot c^2 +m^2\cdot c^4}{c^4} - \frac{E^2}{c^4} = \frac{2m\cdot E}{c^2} + m^2 }\)

\(\displaystyle{ M = m\cdot \sqrt{\frac{2E}{m\cdot c^2} +1}. }\)