Matematyka.pl

Dzień dobry,

Niby to umiem, a jednak zawsze znajdzie się jakiś przykład, który sprawia, że zaczynam wątpić.

\(\displaystyle{ \frac{-1}{x} < 1 }\)

Proszę o sprawdzenie mojego toku rozumowania.

Przede wszystkim dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych bez zera. Teraz chcę pomnożyć obustronnie razy x, ale nie wiem, czy jest on liczbą ujemną, czy dodatnią ( zerem już nie może być, bo zrobiłem założenie na dziedzinę ).

1) Załóżmy, że x jest dodatni. W takim razie otrzymam:
\(\displaystyle{ -1 < x}\)

Biorąc obie nierówności, czyli \(\displaystyle{ x > 0 \wedge x > -1 }\) otrzymuję \(\displaystyle{ x > 0}\)

2) Załóżmy, że x jest ujemny. W takim razie otrzymam:
\(\displaystyle{ -1 > x}\)

Biorąc obie nierówności czyli \(\displaystyle{ x<0 \wedge x < -1 }\) otrzymuję \(\displaystyle{ x<-1}\)

Zatem całe rozwiązanie to \(\displaystyle{ x<-1 \wedge x > 0}\)

Dobrze.

Ale równie dobrze mogłeś wymnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\) - to prosty sposób na uniknięcie rozpatrywania przypadków.

JK

Jan Kraszewski pisze: 22 mar 2021, o 15:34 Ale równie dobrze mogłeś wymnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\) - to prosty sposób na uniknięcie rozpatrywania przypadków.

Dobry pomysł. Dziękuję!