Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera, wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (a-1)^2 (a+1)^2 - a(1-2a)^3 -12a^3 - a}\) jest ujemna.

Próbowałem to przemnożyć i uporządkować, albo doprowadzić do jakiejś postaci iloczynowej, ale niestety nic mądrego mi nie wyszło.

szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera, wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (a-1)^2 (a+1)^2 - a(1-2a)^3 -12a^3 - a}\) jest ujemna.

To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\). Twierdzenie odwrotne też jest nieprawdziwie.

Janusz Tracz pisze: 21 mar 2021, o 18:35To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\).

Słaby argument:

szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera,

JK

Janusz Tracz pisze: 21 mar 2021, o 18:35

szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera, wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (a-1)^2 (a+1)^2 - a(1-2a)^3 -12a^3 - a}\) jest ujemna.

To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\). Twierdzenie odwrotne też jest nieprawdziwie.

Dla \(\displaystyle{ a=0}\) wartość wyrażenia wyszła mi równa \(\displaystyle{ 1}\). Rozumiem, że w twierdzeniu odwrotnym miałbym wykazać, że wartośc wyrażenia jest nieujemna? Bo jeżeli tak to wyszła mi nieujemna.

Jan Kraszewski pisze: 21 mar 2021, o 18:38

Janusz Tracz pisze: 21 mar 2021, o 18:35To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\).

Słaby argument:

szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera,

JK

Ok racja. Nie zmiana to jednak faktu, że twierdzenie jest fałszywe. Dla \(\displaystyle{ a=1}\) wartość to \(\displaystyle{ -12}\), a dla \(\displaystyle{ a=3}\) dostajemy \(\displaystyle{ 112}\).

To nie jest słaby argument, tylko nie objaśniony do końca: jeżeli `W(0)=1` to w pewnym otoczeniu zera `W>0`