Matematyka.pl

Witam wszystkim, mam pytanie, które nurtuje mnie od dłuższego czasu, a nie mam kogo zapytać. Kończyłem 20 lat temu politechnikę i ostatnio odkryłem w sobie pasję matematyczną. Staram się dla siebie samego studiować ten trudny, ale arcyciekawy przedmiot. Na szczęście dzisiaj jest sporo materiałów w Internecie, więc jest łatwiej niż kiedyś. Jednak czasami napotykam problem, z którymi muszę się zwrócić do kogoś, bo nic nie mogę znaleźć (być może źle szukam).

Otóż, w geometrii różniczkowej znalezłem pojęcia wektora stycznego (pierwsza pochodna po parameteryzacji) oraz wektora normalnego (druga pochodna). Wydawało mi się z matematyki elementarnej, że wektory styczne i normalne są do siebie prostopadłem, ale zrobiłem kilka przykładów i nijak się to ma do siebie, co nie ukrywam, że bardzo mnie to zaskoczyło.

W związku z powyższym, czy mógłby mi ktoś wyjaśnić czym w takim razie jest wektor normalny, co on opisuje i jaki on się ma (jeśli jakkolwiek) do wektora prostopadłego do stycznej.

Z góry bardzo dziękuję pomoc.

Przed policzeniem drugiej pochodnej trzeba unormować pierwszą (zakładając, że jest ona niezerowa).

Niech \(\displaystyle{ n\in\NN}\), \(\displaystyle{ U\subseteq\RR}\) będzie zbiorem otwartym, a \(\displaystyle{ f:U\rightarrow\RR^n}\) funkcją różniczkowalną i różną od zera w każdym punkcie dziedziny. Wówczas w każdym punkcie \(\displaystyle{ x\in U}\) wektor \(\displaystyle{ f(x)}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \left( \frac{f}{\|f\|}\right)'(x) }\).

Wynika stąd, że przy odpowiednich założeniach wektor \(\displaystyle{ f'(x)}\) (wektor styczny) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \left( \frac{f'}{\|f'\|}\right)'(x) }\) (wektora normalnego).

Dziękuję za odpowiedź, a co to dokładnie znaczy unormować? Doczytałem od wczoraj, że można zrobić tzw. parameteryzację regularną i wtedy jest prostopadły, ale co to znaczy i jak się to robi.
Ponadto jaka jest interpretacją wektora normalnego jeśli krzywa nie jest unormowana i/lub regularna.

Unormować wektor znaczy podzielić go przez jego długość. W rezultacie otrzymujemy wektor długości \(\displaystyle{ 1}\) o takim samym kierunku i zwrocie.

W przypadku tych krzywych liczymy pierwszą pochodną \(\displaystyle{ f'}\) i w każdym punkcie normujemy tę pochodną. Otrzymujemy nową funkcję \(\displaystyle{ \frac{f'}{\|f'\|}}\). Pochodna tej nowej funkcji w danym punkcie jest wektorem prostopadłym do wektora stycznego. W tym miejscu muszę przeprosić za możliwe wprowadzenie w błąd, bo nie wiem, czy ten wektor nazywa się wektorem normalnym (a tak pisałem w poprzednim poście).

A propos parametryzacji regularnej, to doczytałem, że istnieje pojęcie parametryzacji naturalnej (podejrzewam, że jest to to samo) tzn. takiej, że norma z pochodnej w każdym punkcie wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Dla takiej parametryzacji druga pochodna będzie zawsze wektorem prostopadłym do pierwszej. Być może to tę drugą pochodną nazywa się wektorem normalnym.