Matematyka.pl

Dzień dobry,

mam kłopot z następującym typem zadania:

7 osób wsiadło do windy zatrzymującej się na 10 piętrach.
Na ile sposobów mogą wysiąść na dokładnie 4 piętrach?

Rozumuję tak:

Wybieram 4 z 10 pięter na których będzie można wysiadać i następnie każda z 7 osób decyduje o wyborze jednego z 4 pięter (niezależnie od siebie)
\(\displaystyle{ {10 \choose 4} \cdot 4^7}\)
Jednakże powyższe obliczenie obejmuje także błędne sytuacje w których na przykład wszyscy wybrali to samo z 4 narzuconych pięter, albo wybrali 2 takie piętra. Więc odejmuję te złe wybory:
\(\displaystyle{ {10 \choose 4} \cdot 4^7 - {10 \choose 3} \cdot 3^7}\)

Czy tak jest dobrze?

Czy czego nie przeliczam podwójnie przy tym odejmowaniu?

Wg mnie nie jest OK. przeczytaj

Pozdrawiam

Ja potwierdzam że nie jest dobrze, choć pomysł z zasadą włączeń i wyłączeń jest dobry. Zastosuj ją tylko do czterech wcześniej wybranych pięter.

Alternatywne rozwiązanie:
Na wybranych czterech piętrach pasażerowie mogą pogrupować się i wysiąść tylko na trzy sposoby: \(\displaystyle{ (4,1,1,1) , (3,2,1,1), (2,2,2,1)}\) , a stąd szukana liczba możliwości opuszczenia windy:
\(\displaystyle{ {10 \choose 4}\left[ {4 \choose 1} \frac{7!}{4!}+{4 \choose 1} {3 \choose 1} \frac{7!}{3!2!}+ {4 \choose 1} \frac{7!}{2!2!2!} \right] }\)