Matematyka.pl

Witam, podczas badania różnowartościowości funkcji zauważyłem pewien związek, może przykład. Niech dana będzie funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3-x \ \ , \ \ x\in\mathbb{R}}\). Badam różnice:

\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x^2_1+x_1x_2+x^2_2-1)}\)

No i teraz jeśli ja zarządam aby lokalnie funkcja była różnowartościowościowa, tj. aby równanie \(\displaystyle{ f(x)=a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną stałą miało tylko jedno rozwiązanie to wówczas w tym drugim nawiasie muszę zrównać \(\displaystyle{ x_1}\) z \(\displaystyle{ x_2}\). Otrzymam w ten sposób punty stacjonarne na ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\). Oczywiście pojęcie pochodnej jest tutaj poniekąd "przemycone" po cichu, gdyż dzieląc wyjściową różnice wartości przez różnice argumentów otrzymam iloraz różnicowy, który przy \(\displaystyle{ x_1}\)dążącym do \(\displaystyle{ x_2}\) daje nam pochodną w punkcie.

Zrodziły się w związku z tym przykładem pytania:

1. Czy przecięcie krzywej typu \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-1=0}\) z prostą \(\displaystyle{ y=x}\) zawsze da nam punkty stacjonarne?

2. Czy taka krzywa jak ta elipsa z tego przykładu ma jakąś nazwę dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)?

3. Jest może jeszcze jakiś sens interpretacji geometrycznej takiej krzywej względem badanej funkcji?

4. Czy podczas badania różnowartościowościowości funkcji zawsze będziemy mieli do wyciągnięcia przed nawias różnicę argumentów?

P. S. Wiem, że rozumowanie może oczywiście zawierać pewne niedociągnięcia jak na przykład to, że powyżej pewnych argumentów lokalnie funkcja różnowartościowościowa nam wyjdzie jako suma zbioru pustego oraz równych argumentów. Niemniej jednak w okolicy gdzie ta pewna krzywa uwikłana istnieje coś się dzieje (czyt. pojawiają się ekstrema funkcji).

1. Nie mam pewności czy w wypadku struktury nie będącej funkcją można mówić o unktach stacjonarnych
2.To jest obrócona o 45st slipsa. Poczytaj o algebrze krzywych II stopnia.
3. W świetle tego co badasz, ważne jest jedynie to, że na punktach elipsy różnica z zadania się zeruje, czyli każda para x i y będąca współrzędnymi punktu elipsy jest kontrprzykładem różnowartościowości.
4. W wielomianach tak gdyż, mamy różnicę potęg

Ad 2. Kształt tej krzywej znam. Chodzi mi o to, czy jest to jakaś konkretna krzywa dla mojej funkcji?

Ta elipsa nie ma nic wspólnego z twoją funkcją poza tym, że jest to iloraz różnicowy tej funkcji. czyli \(\displaystyle{ \frac{f(x)-f(y)}{x-y} }\). Będzie podstawą obliczania pochodnych i dowodzenia wielu spraw związanych z wypukłością i wklęsłością funkcji.

Dziękuję za odpowiedź.