Zauważ, że liczby
\(\displaystyle{ a,b}\) mają w rozkładzie na liczby pierwsze jedynie
\(\displaystyle{ 2,5,11}\). Bo
\(\displaystyle{ a|2^35^711^{13}}\) oraz
\(\displaystyle{ b|2^35^711^{13}}\). Zatem
\(\displaystyle{ a=2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3}}\) oraz
\(\displaystyle{ b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3}}\). Ponad to
\(\displaystyle{ \max \left\{ a_1,b_1\right\}=3,\max \left\{ a_2,b_2\right\}=7,\max \left\{ a_3,b_3\right\}=13 }\). Zatem mamy układ warunków:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ przy czym co najmniej jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ przy czym co najmniej jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ przy czym co najmniej jedno jest równe } 13\end{cases}}\)
przy czym oznaczenie
\(\displaystyle{ \left[ n\right] }\) to zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,n\right\} }\). Rozdzielmy to na osiem rozłącznych możliwości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)
No i teraz trzeba zliczyć ile rozwiązań ma każdy z tych układów z osobna. Pierwszy jest najgorszy. Ale sytuacja jest już dość jasna.