Matematyka.pl

Dzień dobry

Proszę o pomoc z zadaniem.
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dwa różne pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{2} -(m-1)x+m=0}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\)?
Pierwsze, co mi przyszło do głowy to \(\displaystyle{ x_{1}<2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}<2}\) i po prostu ze wzoru na pierwiastek, oczywiście po policzeniu delty, ale wtedy wychodzi mi, że takich pierwiastków nie ma. Wystarczyłoby postawić warunek, że suma pierwiastków jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 4}\)?

Niepokonana pisze: 16 mar 2021, o 13:34Pierwsze, co mi przyszło do głowy to \(\displaystyle{ x_{1}<2}\) i \(\displaystyle{ x_{2}<2}\) i po prostu ze wzoru na pierwiastek, oczywiście po policzeniu delty,

Wystarczy \(\displaystyle{ x_2<2}\) (potrafimy wskazać, który pierwiastek jest większy).

Niepokonana pisze: 16 mar 2021, o 13:34ale wtedy wychodzi mi, że takich pierwiastków nie ma.

Dopóki nie pokażesz rachunków, to nie jesteśmy w stanie odnieść się do tego.

Niepokonana pisze: 16 mar 2021, o 13:34Wystarczyłoby postawić warunek, że suma pierwiastków jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 4}\)?

No skąd, przecież np. \(\displaystyle{ -3+5<4...}\)

JK

No tak, bo ten, co ma we wzorze plus, będzie większy, bo współczynnik przy drugiej potędze jest dodatni.
\(\displaystyle{ \Delta=m^{2}-6m+1>0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta_{m}}=4 \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ m_{1}=3+2 \sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ m_{2}=3-2 \sqrt{2}}\)
więc dziedziną naszych \(\displaystyle{ m}\) jest \(\displaystyle{ m>3+2 \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ m<3-2 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{m-1+ \sqrt{m^{2}-6m+1} }{2} <2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{m^{2}-6m+1} <5-m}\), co ma sens tylko dla \(\displaystyle{ m<5
}\)
Z jakiegoś powodu uznałam, że to jest sprzeczne, ale teraz nie jestem pewna.

Niepokonana pisze: 16 mar 2021, o 14:30\(\displaystyle{ \sqrt{m^{2}-6m+1} <5-m}\), co ma sens tylko dla \(\displaystyle{ m<5
}\)
Z jakiegoś powodu uznałam, że to jest sprzeczne, ale teraz nie jestem pewna.

Ale z czym miałoby być to sprzeczne?

Po prostu rozwiąż tę nierówność (rozwiązania istotnie mogą istnieć tylko dla \(\displaystyle{ m\le 5}\), załóż więc to i podnieś obie strony do kwadratu - już można, bo są nieujemne), a potem połącz to ze zbiorem, który wyszedł Ci z delty dodatniej.

JK

Dla
\(\displaystyle{ \Delta(m)>0}\)

z wzorów Viete'a byłoby to tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1<2\\x_2<2\end{cases}\iff \begin{cases} x_1-2<0\\x_2-2<0\end{cases}\iff\begin{cases} (x_1-2)(x_2-2)>0\\(x_1-2)+(x_2-2)<0\end{cases}}\)

a z parabol sprzyjających, dla \(\displaystyle{ f_m(x)=x^{2} -(m-1)x+m}\), byłoby
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_W<2\\f_m(2)>0 \end{cases} }\)

Pozdrawiam

[edited] pomysł z nierównościami/równaniami potęgowymi jest wg mnie koszmarny

JHN pisze: 16 mar 2021, o 15:14[edited] pomysł z nierównościami/równaniami potęgowymi jest wg mnie koszmarny

Ten zaproponowany przez Niepokonaną? Dlaczego?

Przecież po podniesieniu stronami do kwadratu tej nierówności dostaniesz nierówność liniową i rozwiązanie masz od razu. Twoje wzory Viete'a może wyglądają sprytnie, ale rachunków nie jest mniej.

JK

Cóż, dzięki za pomoc, zrobiłam wątek niepotrzebnie.

Dodano po 35 sekundach:
Co to są parabole sprzyjające?

Można troche prościeJ. Muszą być spełnione warunki:
1) Wyróżnik musi być dodatni
2) wierzchołek paraboli musi leżeć na lewo od dwójki
3) wartość wielomianu w `x=2` musi być dodatnia

Jan Kraszewski pisze: 16 mar 2021, o 17:29 Twoje wzory Viete'a może wyglądają sprytnie, ale rachunków nie jest mniej.

To układ dwóch nierówności liniowych...
Nie polecałem wyznaczanie w dyskusji miejsc zerowych trójmianu, chyba, że wyróżnik był pełnym kwadratem!
Ale to moje zdanie.

Pozdrawiam