Strona 1 z 1

Promień i przedział zbieżności szeregów potęgowych

: 13 mar 2021, o 19:43
autor: Terminator7
Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch przykładów. Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego:
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } (2+ (-1)^{n})^{n} \cdot (x-1)^{n}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{2x^{n}}{4+3a^{n}}, \left( a \ge 0\right)}\)

Re: Promień i przedział zbieżności szeregów potęgowych

: 13 mar 2021, o 20:49
autor: Janusz Tracz
W \(\displaystyle{ (a)}\) policzmy:
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{ \limsup_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\left| (2+(-1)^n)^n\right| } } =\frac{1}{ \limsup_{ n\to \infty } (2+(-1)^n) } = \frac{1}{3} }\)

W \(\displaystyle{ (b)}\) sprawdził bym rozważyć trzy przypadki \(\displaystyle{ a<1}\), \(\displaystyle{ a=1}\) oraz \(\displaystyle{ a>1}\). I badał bym z kryterium Cauchego kiedy mamy zbieżność.