Matematyka.pl

Proszę o wytłumaczenie mi dlaczego tak jest. Łatwo jest rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \cos(2x)= \frac{\sqrt{2}}{2} }\). Ale jak przekształcimy lewą stronę równania i otrzymamy \(\displaystyle{ \cos^2 x= \frac{\sqrt{2}+2}{4}}\), to dlaczego jak obustronnie pierwiastkuje to nie otrzymamy tego samego co w pierwszym równaniu ? Gdzie mam błąd w myśleniu ?

A czemu pierwiastkujac `\cos^2 x` miałbyś dostać `\cos 2x`?

Z pierwszego równanie otrzymujemy \(\displaystyle{ 2x= \frac{\pi}{4} +2k \pi }\), więc otrzymamy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{8}+k \pi }\). To dlaczego z cosinusa do kwadratu tego nie otrzymamy ?

Pokaż rachunki, bo bez tego trudno cos wnioskować. A rozwiązanie , które podałeś nie jest kompletne - brakuje drugiej serii

Ok, z \(\displaystyle{ \cos(2x)= \frac{\sqrt2}{2} }\) otrzymamy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{8} +k \pi }\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{\pi}{8} +k \pi }\) A teraz zapiszemy trochę inaczej \(\displaystyle{ \cos^2 x- \sin^2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} }\) i dalej \(\displaystyle{ \cos^2 x - (1-\cos^2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\),
\(\displaystyle{ 2\cos^2 x= \frac{\sqrt{2}}{2} +1 }\)
\(\displaystyle{ 2\cos^2 x = \frac{\sqrt{2}+2}{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{\sqrt{2}+2}{4} }\)

Co jest źle ?

Nic. Dlaczego ma być żle?

Dodano po 1 minucie 4 sekundach:
Zauważ, że przy okazji udało Ci się wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \cos \pi/8}\)

To dlaczego nie mogę pierwiastkować obustronnie, aby wyliczyć cosinusa x ? Wychodzi cosinus x równy jakiemuś dziwnemu pierwiastkowi i teraz skąd wywnioskować ile jest równy x ?

Oczywiście, że możesz pierwiastkować i dostaniesz \(\displaystyle{ \cos x=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\). Taki kosinus ma akurat kąt `\pi/8`, ale w szkole tego nie uczą.

Dlatego właśnie napisałem, że w ten sposób udało Ci się wyliczyć kosinus tego kąta.

Właśnie tego mi brakowało. Dzięki za pomoc