Matematyka.pl

Dzień dobry

Mam bardzo dużo zadań z ciągów, które mi w ogóle nie idą. Proszę o pomoc.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x \in (0;1) \cup (1; \infty )}\) liczby \(\displaystyle{ \log _{2}x}\), \(\displaystyle{ \log _{m}x }\), \(\displaystyle{ \log _{4} x}\) tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(\displaystyle{ m}\). Jak policzyć \(\displaystyle{ m}\), jak nie znamy \(\displaystyle{ x}\)?

Lemat: Dla odpowiednich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi:
wskazówka: Stosując powyższe zapisz:

\(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ \lg_4x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\lg_2 x }\)

\(\displaystyle{ (2)}\) wstaw to do warunku na ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ \lg_2 x+\lg_4 x= 2\lg_m x}\)

PS Zrób zadanie sprytnie. Skoro twierdzenie ma działać dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) to powinno działać też dla szczególnego \(\displaystyle{ x=4}\). To nie dowód ogólnego przypadku ale czasem warto rozważyć konkretny przypadek by nauczyć się czegoś o ogólnym.

PPS Spróbuj udowodnić powyższy lemat. Nie upieram się też przy tej metodzie rozwiązania pewnie można inaczej.

Dzięki ^^ Czyli można sobie podstawić iksa... Myślałam, że nie można, ale skoro można, to już umiem.

Niepokonana pisze: 12 mar 2021, o 11:25Myślałam, że nie można, ale skoro można, to już umiem.

W ogólności - nie można:

Janusz Tracz pisze: 12 mar 2021, o 11:17To nie dowód ogólnego przypadku ale czasem warto rozważyć konkretny przypadek by nauczyć się czegoś o ogólnym.

JK

Panowie, nie jestem w nastroju w tworzenie wątków na kilka stron o dowodach. Dziękuję za pomoc i kończę temat.