Matematyka.pl

Witam

Zadanie brzmi:

\(\displaystyle{ xyz_x - y^2 z_y = x}\) dla warunków \(\displaystyle{ x=2}\), \(\displaystyle{ 2yz - 3 = 0}\)

Liczę sobie najpierw:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{xy} = \frac{dy}{-y^2} }\)

Dostanę:

\(\displaystyle{ C_1 = xy}\)

Podobnie liczę:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{-y^2} = \frac{dz}{x} }\)

I dostanę:

\(\displaystyle{ C_2 = \frac{z}{x} + \frac{1}{y} }\)

Podstawiając warunki dostanę iż:

\(\displaystyle{ C_2 = \frac{ \frac{3}{2} + 2}{C_1} }\)

Z czego dostanę

\(\displaystyle{ z = \frac{7 - 2x}{2y} }\)

Jednak to rozwiązanie nie jest poprawne. Gdzie zrobiłem błąd?

\(\displaystyle{ \frac{xy}{x'}=\frac{-y^2}{y'}=\frac{x}{z'}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{x'}=\frac{-y^2/x}{y'}=\frac{1}{z'}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{y}{x'}=\frac{-y^2/x}{y'} \\ \frac{y}{x'}=\frac{1}{z'} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1\\ C_1 z=\frac{1}{2}x^2+C_2 \end{cases} }\)

I ogólnym rozwiązaniem jest dowolna funkcja \(\displaystyle{ C_2=\Phi(C_1)}\). Rozwiązując równanie dla \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1 \\ xyz=\frac{1}{2}x^2+C_2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=C_1 \\ xyz-\frac{1}{2}x^2=C_2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ xyz-\frac{1}{2}x^2=\Phi(xy)}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{\frac{1}{2}x^2+\Phi(xy)}{xy}}\)

Dodano po 1 minucie 47 sekundach:
Po wstawieniu warunku początkowego \(\displaystyle{ \Phi(xy)=1}\) więc \(\displaystyle{ z=\frac{\frac{1}{2}x^2+1}{xy}}\).

pkrwczn pisze: 12 mar 2021, o 06:54 Po wstawieniu warunku początkowego \(\displaystyle{ \Phi(xy)=1}\) więc \(\displaystyle{ z=\frac{\frac{1}{2}x^2+1}{xy}}\).

Nigdzie nie jest napisane że to jest warunek początkowy? Jedynie jest napisane że

student_matematyk pisze: 12 mar 2021, o 01:07
...dla warunków \(\displaystyle{ x=2}\), \(\displaystyle{ 2yz - 3 = 0}\)

A tak. Zignoruj słowo "początkowego". Nie wiem dlaczego tak napisałem.