Matematyka.pl

Mam takie pytanie, dlaczego calka \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} }\) jest niecalkowalna w sensie Lebesguea a całkowalność w sensie Riehmana? Wykladowca nam powiedzial ze no wystarczy sobie podzielić na fragmenty blisko \(\displaystyle{ 1}\) i wtedy będziemy mieć sume \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) a taki szereg jest rozbieżny i widac. A jest całkowalność w sensie Riemanna bo jest ciagla to widac. I bardziej niż jakies rozpisanie tego konkretnego przykładu chodzi mi o to jak pokazywać niecalkwoalnosc w sensie Lebesgue'a?

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{(n+1)\pi} \left| \frac{\sin(x)}{x} \right|dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \left| \frac{\sin(x)}{x} \right|dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{|\sin(t + k\pi)|}{t + k\pi} dt = \sum_{k=1}^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{|\sin(t)|}{t +k\pi} dt \geq }\)

\(\displaystyle{ \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{0}^{\pi} \sin(t) dt = \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}. }\)

Otrzymaliśmy szereg harmoniczny rozbieżny.

Odpowiedź (podpowiedź?) janusza47 nic nie wnosi do tematu

Badana funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, bo
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \int_0^{n\pi}\frac{\sin t}{t}dt=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin t}{t}dt= \sum_{k=0}^{\infty}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin t}{t}dt}\)

ten szereg jest zbieżny, bo całki pod sumą na przemian zmieniają znaki, a ich wartości bezwzględne maleją do zera.
oraz dla \(\displaystyle{ k\pi<t<(k+1)\pi}\) mamy \(\displaystyle{ \left|\int_0^t \frac{\sin t}{t}dt-\int_0^{k\pi} \frac{\sin t}{t}dt\right|<\frac{\pi}{t}\to 0}\) gdy `t\to\infty`

Jeżeli chodzi o całkę Lebesgue'a, to rozważ funkcję prostą

\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{2}}{2\left((2k+1)\pi+\frac{\pi}{4}\right)} & (2k+1)\pi-\frac{\pi}{4}<x< (2k+1)\pi+\frac{\pi}{4}\\
0 & \text{poza tym}\end{cases}}\)

Niech `f_+(x)=\frac{\sin x}{x}`.
Wtedy `g(x)<f_+(x)`. Oblicz całkę z funkcji `g` (obojętnie czy Riemanna czy Lebesgue'a) i wyciągnij wnioski

@a4karo z tego co kojarzę to \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna w sensie Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \left| f\right| }\) jest całkowalna w sensie Lebesgue'a. Janusz47 pokazał, że \(\displaystyle{ \left| f\right| }\) nie jest całkowalna. Więc moim zdaniem to pełne (choć dość lakoniczne) rozwiązanie.

Weźmy funkcję , która jest równa `1` na zbiorze niemierzalnym i `-1` na jego dopełnieniu. Wtedy `f` nie jest całkowalna, a `|f|` jest.

@a4karo jeśli \(\displaystyle{ f}\) byłaby mierzalna, wtedy równoważność:


zajdzie.

To prawda. Ale janusz47 pokazał na razie, że `|f|` nie jest całkowalna w sensie Riemanna. Stąd do niecałkowalności w sensie Lebesgue'a jeszcze trochę... (o ile taka implikacja w ogóle zachodzi)

a4karo pisze: ↑12 mar 2021, o 18:55 To prawda. Ale janusz47 pokazał na razie, że `|f|` nie jest całkowalna w sensie Riemanna. Stąd do niecałkowalności w sensie Lebesgue'a jeszcze trochę... (o ile taka implikacja w ogóle zachodzi)

Ja uważam, że nie jest aż tak źle. Rachunek janusza47 pokazał, że istnieje podział \(\displaystyle{ \left[0, \infty \right) }\) na którym funkcja \(\displaystyle{ \left| \frac{\sin x}{x} \right| }\) (w zerze stawiam jedynkę) szacuje się z dołu przez coś rozbieżnego. A to wystarcza do niecałkowalności w sensie Lebesgue'a. W sensie sumy dolnej:


rachunek janusza47 pokazał, że istnieje taki konkretny podział \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) zbioru \(\displaystyle{ \left[0, \infty \right) }\), że suma dolna jest nieorganiczna. Więc pokazał, że całka w sensie Lebesgue'a nie istnieje.

PS (szczególnie dla Rokush) Poza tym uważam, że mówienie o (nie)całkowalność funkcji \(\displaystyle{ \sin x / x}\) na \(\displaystyle{ \left[ 0, \infty \right) }\) w sensie Riemanna. Jest trochę naciągane. Całka Riemanna standardowo tyczy się funkcji określonych na domkniętych przedziałach. Tu badając całkowalność na półprostej raczej mówiłbym o niewłaściwie całce Riemanna (czy czymś w tym stylu). W sensie jakoś bym tę sytuację wyróżnił. Bo jeśli całkę Riemanna rozumieć będziemy standardowo przez całkę na przedziale domkniętym i ograniczonym to całkowalność w sensie Riemanna będzie pociągać całkowalność w sensie Lebesgue'a.

Zauważyłeś ile musiałeś się nagimnastykować, żeby od dowódu Janusza47 przejść do czegoś co zaczyna przypominać całkę L? I tylko przypomina bo żaden z tych podziałów o których piszesz nie t jest poprawnie określony (bo jeżeli to są przedziały o długosci `\pi`, to na nich infimum modułu funkcji jest równe zeru. Suma z lewej strony, która przytaczasz w swoim poście jest więc zerowa.

Co do calki Riemanna, to jesteśmy chyba dorośli i wiemy że pisząc całke do nieskończoności myślimy o całce niewłaściwej.