Matematyka.pl

Cześć. Nie rozumiem, jakie przekształcenia zostały zastosowane w tym zapisie:
\(\displaystyle{ U(\xi)= e^{i \beta \xi}(1+| \Gamma | e^{-i(2 \beta \xi - \psi )} ) }\)
\(\displaystyle{ |U(\xi)|= |e^{i \beta \xi}|\cdot|1+| \Gamma | e^{-i(2 \beta \xi - \psi )} | }\)
\(\displaystyle{ |U(\xi)|= \sqrt{1+| \Gamma | ^{2} + 2| \Gamma |\cos(2 \beta \xi - \psi ) } }\).
gdzie \(\displaystyle{ \Gamma \in \mathbb{C}, | \Gamma | \in \mathbb{R}}\).

Moja próba rozumowania:
\(\displaystyle{ |e^{i \beta \xi}|=1}\),
\(\displaystyle{ | \Gamma | e^{-i(2 \beta \xi - \psi )} = | \Gamma | \sqrt{2} \cos(2 \beta \xi - \psi ) }\).

Z tego:
\(\displaystyle{ |U(\xi)|= 1\cdot|1+| \Gamma | \sqrt{2} \cos(2 \beta \xi - \psi ) | }\)
\(\displaystyle{ |U(\xi)|= \sqrt{1 ^{2} +[| \Gamma | \sqrt{2} \cos(2 \beta \xi - \psi )] ^{2} } }\).

Otrzymuję:
\(\displaystyle{ |U(\xi)|= \sqrt{1 +2| \Gamma | ^{2} \cos ^{2} (2 \beta \xi - \psi ) } }\).

Bardzo proszę o pomoc w zrozumieniu.

Zastosowano wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch składników.

\(\displaystyle{ (a +b)^2 = a^2 + 2a\cdot b + b^2 }\)

Nie bardzo widzę, w którym miejscu występuje kwadrat sumy dwóch składników. Jak rozumiem, chodzi o to wyrażenie pod pierwiastkiem:
\(\displaystyle{ |U(\xi)|= \sqrt{1+| \Gamma | ^{2} + 2| \Gamma |\cos(2 \beta \xi - \psi ) } }\).

\(\displaystyle{ \sqrt{1 + | \Gamma | ^{2} + 2| \Gamma | } = \sqrt{(1 +| \Gamma | ) ^{2} } }\)

To by się zgadzało, gdyby nie ta funkcja kosinus, przez która wymnożony jest moduł gamma.

\(\displaystyle{ U(\xi)= e^{i \beta \xi}(1+| \Gamma | e^{-i(2 \beta \xi - \psi )} }\)

\(\displaystyle{ |U(\xi)| = |e^{i\beta \cdot \xi}| \cdot | e^{-i(2\beta -\psi)}|\Gamma| +1| }\)

\(\displaystyle{ |U(\xi)| = | 1 + |\Gamma|e^{i\psi - 2i\beta \xi}| = \sqrt{\Gamma^2\sin^2(2\beta -\psi) + [\sqrt{\Gamma^2} \cos(2\beta\xi -\psi) +1]^2}}\)

\(\displaystyle{ |U(\xi)| = \sqrt{\Gamma^2\sin^2(2\beta -\psi) + \Gamma^2\cos^2(2\beta\xi -\psi) +2\Gamma \cos(2\beta\xi -\psi) +1}}\)

\(\displaystyle{ |U(\xi)| = \sqrt{\Gamma^2[ \sin^2(2\beta \xi -\psi) +\cos^2(2\beta\xi -\psi)] +2|\Gamma| \cos(2\beta\xi -\psi) +1}}\)

\(\displaystyle{ |U(\xi)| = \sqrt{\Gamma^2 +2|\Gamma|\cos(2\beta\xi -\psi) +1}}\)

\(\displaystyle{ |U(\xi)| = \sqrt{1 + |\Gamma|^2 +2|\Gamma|\cos(2\beta\xi -\psi) }.}\)

Wielkie dzięki. Widać, że muszę przypomieć sobie rachunek liczb zespolonych.