Kongruencje

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
m_m

Kongruencje

Post autor: m_m » 17 paź 2007, o 20:58

Mam zadanko, z którym mam problem

Wykaż, że jeżeli liczna n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba \(\displaystyle{ 2^{n+2}+3^{2n+1}}\) jest podzielna przez 7.

Oczywiście zapis za pomocą modulo


Z góry dziękuję za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Kongruencje

Post autor: Piotr Rutkowski » 17 paź 2007, o 21:14

\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv 2 \ (mod7)}\)
\(\displaystyle{ 3^{2n+1}=3^{2n}*3\equiv 2^{n}*3}\)
\(\displaystyle{ 3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv 2^{n}*3+2^{n+2}=3*2^{n}+4*2^{n}=7*(2^{n})\equiv 0 \ (mod7)}\)

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

Kongruencje

Post autor: mat1989 » 18 paź 2007, o 08:49

polskimisiek, a mógłbyś napisać w jaki sposób \(\displaystyle{ 3^{2n}}\) zamieniło się w \(\displaystyle{ 2^n}\)? niestety nie miałem kongruencji w szkole, a dosyć mnie to zainteresowało.

mms
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 281
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 21 razy

Kongruencje

Post autor: mms » 18 paź 2007, o 11:50

Skoro
\(\displaystyle{ 3^{2}\equiv 2 \ (\mathrm{mod}7)}\)
to
\(\displaystyle{ 3^{2n}\equiv 2^n \ (\mathrm{mod}7)}\)
Stąd wynika ostatnie przejście w drugiej linijce.

ODPOWIEDZ