Matematyka.pl

Drodzy forumowicze,

Uczę się rachunku wektorowego i tensorowego z książki "Rachunek wektorowy i tensorowy dla inżynierów" Ryszard Buczkowski i zastanawia mnie tam opis iloczynu skalarnego. Niby bardzo prosta rzecz. Gubię się jednak w oznaczeniach.
To co teraz napiszę to z tej ksiązki:
dane są dwa punkty \[ a=[a_{1},a_{2},a_{3}] \] oraz \[ b=[b_{1},b_{2},b_{3}] \] iloczyn w zapisie wskaźnikowym wyraża się wzorem:
\[ a\cdot b =\delta_{ij}a_{i}b_{j}=\delta_{i1}a_{i}b_{1}+\delta_{i2}a_{i}b_{2}+\delta_{i3}a_{i}b_{3}=\\ =\delta_{11}a_{1}b_{1}+\delta_{22}a_{2}b_{2}+\delta_{33}a_{3}b_{3}=\\=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=a_{i}b_{i}=a_{k}b_{k} \]
i tutaj zastanawia mnie człon (wyróżniony przeze mnie człon) \[ ...a_{i}b_{i}=a_{k}b_{k} \] i tutaj mój komentarz:
z zapisu wynika moim zdaniem, że punkty można oznaczyć jako:
\[ a=[a_{i=1},a_{i=2},a_{i=3}] \] oraz \[ b=[b_{j=1},b_{j=2},b_{j=3}] \] czyli będąc konsekwentnym charakterystyki dla wektora a indksowane są literką "i" która zmienia się od 1do 3, podobnie jak w przypadku wektora b i literki "j". Moje pytanie jest takie: skąd zatem wzięły się oznaczenia w wyróznionym przeze mnie członie? czym wtedy będzie \[ a_{i}b_{i} \]? oraz które zmienne z trzech członów każego wektora można zapisać jako \[ a_{k}b_{k} \]? co oznacza nagle literka k? biorąc pod uwagę konsekwencję oznaczeń. Jeśli ktoś mógłby to na przykładzie pokazać, byłabym wdzięczna

Trudno powiedzieć o co chodzi autorowi, ale może to coś na kształt .

Ta książka także opisuje tę konwencję. Dasio11 wg linku, który podajesz także opisany jest iloczyn skalarny i wg konwencji sumacyjnej można opuścić znak sumy, mamy więc:
\[ a\cdot b=g_{ij}a^{i}b^{j} \]
w przypadku tej książki Buczkowskiego możnaby napisać podobnie
\[ a\cdot b=a^{i}b^{i} \] składniki \[ g_{ij} \] można pominąć, bo są to kowariantne wektory bazowe rozpinające te wektory więc nie wpływają na wynik (nie jestem pewna czy dobrze piszę). Nadal nie wiem nie wiem skąd się wziął fragment
\[ ...=a_{i}b_{i}=...\] tutaj przecież po "i" przebiegają składniki wektora "a", zaś wektora "b" po "j", skąd więc indeks "i" przy b?
no i skąd nagle "k" we fragmencie \[...=a_{k}b_{k}=... \].
Nasunęła mi się jeszcze jedna wątpliwość -czy czasami literki i,j,k nie przeznaczone są czasem dla wersorów odpowiednich osii współrzędnych x,y,z? wersory i,j,k są zaczepione w początku układu współrzędnych? moim zdaniem nijak się to ma do tych oznaczeń w książce Buczkowskiego. Wydaje mi się, że jest to rzeczywiście nawet nie to, że "autor coś tam miał na myśli ale nie wiadomo co", myślę, że te oznaczenia stosuje się hurtowo.
Wg mnie takie oznaczenia wprowadzają tylko bałagan. No ale może się mylę. Stąd kolejne pytanie: jaki jest sens wprowadzania konwencji sumacyjnej Einsteina? może jak uzyskam sesnowną odpowiedź to się do nich przekonam. Drodzy forumowicze, jeśli piszę coś nie tak, sprostujcie mnie proszę.

Autorowi książki chodzi o sumowanie po takich samych wskaźnikach współrzędnych wektora \(\displaystyle{ \vec{a} }\) i \(\displaystyle{ \vec{b}.}\)
Dlatego najpierw użył delty Kroneckera. Ostatnie dwa iloczyny \(\displaystyle{ a_{i}\cdot b_{i} = a_{k}\cdot b_{k} }\) wskazują, że do indeksów sumy iloczynów współrzędnych możemy stosować różne litery. W tym przypadku litery \(\displaystyle{ i }\) \(\displaystyle{ k }\) i wartość iloczynu skalarnego dwóch wektorów będzie taka sama.

Proszę zauważyć, że konwencja sumacyjna Einsteina nie używa symbolu \(\displaystyle{ \Sigma.}\)

janusz47 pisze: 8 mar 2021, o 20:54 ... Ostatnie dwa iloczyny \(\displaystyle{ a_{i}\cdot b_{i} = a_{k}\cdot b_{k} }\) wskazują, że do indeksów sumy iloczynów współrzędnych możemy stosować różne litery. W tym przypadku litery \(\displaystyle{ i }\) \(\displaystyle{ k }\) i wartość iloczynu skalarnego dwóch wektorów będzie taka sama.

To znaczy, że mogę sobie tak to zapisać?
\[ ...=a_{a}b_{a}=a_{b}b_{b}=a_{c}b_{c}=a_{d}b_{d}=a_{e}b_{e}=a_{f}b_{f}=a_{g}b_{g}=a_{h}b_{h}=a_{i}b_{i}=a_{j}b_{j}=....\]

w Polsce to jednak mamy bardzo mało literek w alfabecie. Chińczycy muszą mieć niezłą zabawę z tą konwencją sumacyjną ubafff po pachiiii

A tak poważnie, literka "i" wprowadza tu małe zamieszanie. Najpierw literką "i" oznaczone były składniki wektora "a". A w ogóle to dlaczego one są takie same przy każdym składniku? przecież dotyczą dwóch różnych wektorów. Najpierw "i" oznaczano składowe wektora "a" zaś "j" składniki wektora "b" skąd nagle takie same dla obu składowych?

Bo muszą dotyczyć w kolejności tych samych współrzędnych pierwsza razy pierwsza, druga razy druga trzecia razy trzecia współrzędna.