Matematyka.pl

Rozwiąż równanie Newtona:
\(\displaystyle{ m \frac{ \dd ^2 x}{ \dd t^2 }=- \frac{GM_zm}{(r_z+x)^2} }\)
,gdzie: \(\displaystyle{ m}\)-masa ciała, \(\displaystyle{ x}\)-położenie ciała nad powierzchnią Ziemi,\(\displaystyle{ M_z}\)-Masa Ziemi,
\(\displaystyle{ G}\)-stała grawitacji,\(\displaystyle{ r_z}\)-promień Ziemi

Nie bardzo wiem jak to zrobić. Jak rozumiem, mam wyznaczyć położenie \(\displaystyle{ x}\) od czasu, ale dostaję jakieś skomplikowane równanie różniczkowe, którego nie umiem rozwiązać. Może mi ktoś pomóc?

A nie wystarczy scalkować raz, a potem jeszcze raz?

\(\displaystyle{ y = \frac{dx}{dt},}\)

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dy}{dt} = m\cdot\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx}. }\)

\(\displaystyle{ m\cdot y \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}. }\)

\(\displaystyle{ m\int y\cdot \frac{dy}{dx} = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}m\cdot y^2 = -\int \frac{ G \cdot m\cdot M_{z}}{(r_{z} +x)^2}dx + E }\)

\(\displaystyle{ y^2 = -2G\cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + C. }\)

No, ale jak scałkować raz, a potem jeszcze raz? \(\displaystyle{ x}\) występuje zarówno po lewej jak i po prawej stronie równości zatem trzeba go chyba przenieść na jedną stronę i się dostaje dość skomplikowane równanie różniczkowe.

Janusz no dobra, ale jak potem z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)?

Oblicz całkę

\(\displaystyle{ V(x) = -\int F(x)dx = -G\cdot m \cdot M_{z} \int \frac{1}{(r_{z} +x)^2} dx + E }\) (energii potencjalnej)

Przyjmując warunki początkowe:

\(\displaystyle{ x(0) = x_{0} , \ \ y(0) = y_{0}, }\)

\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2}y^2_{0} + V(x_{0}). }\)

Oblicz \(\displaystyle{ x(t) }\) z równania pierwszego

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \pm\sqrt{ \frac{2}{m}}\cdot \sqrt{ E - V(x)}. }\)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

Nie rozumiem. Najpierw masz tam lewej stronie \(\displaystyle{ y^2}\), a potem jakieś \(\displaystyle{ V}\)?

a4karo możesz pokazać schemat jak to się powinno liczyć? Nie chodzi mi o pełne rozwiązanie bo to sobie policzę jak zrozumiem tylko o schemat jakim się to powinno liczyć.

Przepraszam że zapytam, a równania co opisującego szukamy?

To może tą metodę zrozumiesz.

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)

Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}}\)

\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)

\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)

Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)

Przeczytaj to jeszcze raz, Sam.

"Całkujemy równanie (1) uwzględniając warunki początkowe
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}\cdot m}{(r_{Z} + x)^2}}\) "

i piszemy równanie wymiarowe:
Stała grawitacji \(\displaystyle{ G}\) ma wymiar : \(\displaystyle{ \frac{m^3}{kg \cdot s^2} }\)
\(\displaystyle{ v^2}\) ma wymiar kwadratu prędkości: \(\displaystyle{ \frac{m^2}{s^2} }\)
Masy \(\displaystyle{ M_Z \ i \ m}\) mają wymiar \(\displaystyle{ kg}\) a kwadrat sumy: \(\displaystyle{ (r_Z \ + \ x )^2 }\) ma wymiar kwadratu długości, \(\displaystyle{ m^2}\)
Równanie (1) wymiarowo ma postać:
\(\displaystyle{ \frac {m^2}{s^2} = \frac {m^3}{kg \cdot s^2} }\) \(\displaystyle{ \cdot\frac{kg \cdot kg}{ m^2} }\)
i po wykonaniu działań nie sprawdza równania wymiarowo.

To nie jest jedyną rzecz, która się nie zgadza

To może mi ktoś powiedzieć jak poprawnie policzyć to zadanie? Janusz coś tam pisze, ale to się chyba kupy nie trzyma.

To może tą metodę zrozumiesz.

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d^2x}{dt^2} = G\cdot \frac{m\cdot M_{z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot a = G\cdot \frac{m\cdot M_{Z}}{(r_{Z} +x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot v }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ v\cdot dv = a\cdot dx \ \ (1) }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ v(t_{0}) = v_{0}, \ \ x(t_{0}) = x_{0}.}\)

Całkujemy równanie \(\displaystyle{ (1)}\) uwzględniając warunki początkowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v^2_{0} = \int_{x_{0}}^{x} a(\overline{x})d\overline{x} = G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x)^2}}}\)

\(\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }\)

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{v} = \frac{dx}{\sqrt{2G \cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + x^2)^2}}}}\)

\(\displaystyle{ t = t_{0} + \int_{x_{0}}^{x} \frac{d\overline{x}}{\sqrt{2G\cdot \frac{M_{Z}}{(r_{Z} + \overline{x})^2}}} = g(x) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ t = g(x), \ \ x(t) = g^{-1}(x) = G(t) }\)

Obliczamy całkę i wyznaczamy z równania \(\displaystyle{ (2), \ \ x. }\)

Dzięki za zwrócenie uwagi.

Może ktoś to potwierdzić, albo zaprzeczyć?

Kruszewski szukamy \(\displaystyle{ x(t)}\).

\(\displaystyle{ }\)Tak, szukamy `x(t)`. Przepraszam za pierwszy wpis, który był mocno mylący.

Rownanie
\(\displaystyle{ x''(t)=\frac{A}{(r+x)^2}}\) mnożymy obustronnie przez `x'(t)`

Wtedy lewa strona to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left((x')^2\right)'}\) a prawa to \(\displaystyle{ \left(-\frac{A}{r+x}\right)'}\)

Zatem

\(\displaystyle{ x'(t)=\pm\sqrt{C-\frac{2A}{r+x}}}\)

i masz proste równanie z rozdzelonymi zmiennymi