Strona 1 z 1
Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 6 mar 2021, o 22:40
autor: 41421356
Dany jest trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 10, \frac{10\sqrt{61}}{9}, x}\). Kąt pomiędzy bokami \(\displaystyle{ 10}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ 60°}\). Oblicz długość \(\displaystyle{ x}\) trzeciego boku trójkąta.
No i tutaj podczas wykorzystania twierdzenia kosinusów rodzą się dwa pytania:
1.) Dlaczego sytuacja jest niejednoznaczna i wychodzą dwa rozwiązania \(\displaystyle{ 4\frac{4}{9}}\) lub \(\displaystyle{ 5\frac{5}{9}}\)?
2.) Skąd mam wiedzieć które rozwiązanie odrzucić?
Re: Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 6 mar 2021, o 22:54
autor: piasek101
\(\displaystyle{ x>5}\)
Poprowadź wysokość trójkąta na bok \(\displaystyle{ x}\), to zobaczysz.
[edit] Nie czekaj - jeszcze patrzę.
[edit1,22:56] Mogą być obie długości - chyba, że jeszcze coś jest w zadaniu.
A swoją drogą to z tą wysokością można rozwiązać zadanie tylko za pomocą Pitagorasa.
Re: Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 6 mar 2021, o 23:05
autor: 41421356
Nie bardzo widzę to rozwiązanie z tą wysokością. Poza tym nie powinien wyjść tylko jeden przypadek? Czy informacja o dwóch bokach i kącie nie określa nam trójkąta jednoznacznie?
Re: Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 6 mar 2021, o 23:20
autor: Jan Kraszewski
41421356 pisze: ↑6 mar 2021, o 23:05Czy informacja o dwóch bokach i kącie nie określa nam trójkąta jednoznacznie?
Nie. Narysuj bok
\(\displaystyle{ AB}\) o długości
\(\displaystyle{ 10}\) oraz półprostą
\(\displaystyle{ k}\), zaczynającą się w punkcie
\(\displaystyle{ A}\) i tworzącą z prostą
\(\displaystyle{ AB}\) kąt
\(\displaystyle{ 60^\circ}\). Jeżeli narysujesz okrąg o środku w punkcie
\(\displaystyle{ B}\) i promieniu równym
\(\displaystyle{ \frac{10\sqrt{61}}{9}}\), to ten okrąg przecina półprostą
\(\displaystyle{ k}\) w dwóch punktach.
Sytuację graniczną, gdy jest dokładnie jeden trójkąt, miałbyś gdybyś zastąpił
\(\displaystyle{ \frac{10\sqrt{61}}{9}}\) przez
\(\displaystyle{ 5 \sqrt{3}. }\)
JK
Re: Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 7 mar 2021, o 14:03
autor: 41421356
Po rozrysowaniu tej sytuacji w programie graficznym już wszystko jasne. Po prostu jeden trójkąt wyjdzie ostrokątny, a jeden rozwartokątny. Dziękuję za pomoc.
Re: Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 7 mar 2021, o 21:02
autor: piasek101
A z tą wysokością już wiesz jak rozwiązać ?
Re: Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 9 mar 2021, o 23:11
autor: 41421356
piasek101 pisze: ↑7 mar 2021, o 21:02
A z tą wysokością już wiesz jak rozwiązać ?
Wydaję mi się, że po wyliczeniu tej wysokości i rozrysowaniu całej sytuacji równanie z twierdzeniem Pitagorasa będzie następujące:
\(\displaystyle{ \left(x-5\right)^2+\left(5\sqrt{3}\right)^2=\left(\frac{10\sqrt{61}}{9}\right)^2}\)
Re: Twierdzenie kosinusów i trzeci bok trójkąta
: 10 mar 2021, o 09:54
autor: piasek101
W zasadzie tak.
Widzimy trójkąt (trójkąty) prostokątne o bokach \(\displaystyle{ y; 5\sqrt 3; \frac{10\sqrt{61}}{9}}\).
Z Pitagorasa dostajesz y-greka.
Zatem : \(\displaystyle{ x=5+y}\) lub \(\displaystyle{ x=5-y}\).