Matematyka.pl

Dzień dobry. Mam pytanie odnośnie wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{g(x)} }\). Wiem, że wystarczy szukać ekstremów funkcji \(\displaystyle{ g}\), ale dlaczego? Spotkałam się z uzasadnieniem, że dlatego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą, ale nie rozumiem, dlaczego to jest uzasadnienie. I czy chodzi stricte o to, że jest rosnąca, czy tylko o to, że jest monotoniczna?

To nie wynika z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca (bo nie musi), tylko dlatego, że funkcja "pierwiastek kwadratowy": \(\displaystyle{ p(x)= \sqrt{x} }\) jest rosnąca.

JK

Dobrze, ale nadal nie widzę tego wynikania.

Chodzi (krótko) o to, że jeśli (tutaj) \(\displaystyle{ a>b}\) to \(\displaystyle{ \sqrt a > \sqrt b}\), czyli im większa wielkość pod pierwiastkiem tym większa wartość samego pierwiastka.

A nawet \(\displaystyle{ a>b \Leftrightarrow \sqrt{a}> \sqrt{b} }\). Teraz wystarczy popatrzeć na definicję ekstremum lokalnego funkcji w odniesieniu do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{g(x)}}\) i zastosować tę obserwację.

JK