Matematyka.pl

Witam, mam problem bo musze stworzyć wzór na wyraz \(\displaystyle{ n}\)-ty pewnego ciągu...
Oto i on:

\(\displaystyle{ a_{1} = 1}\)

\(\displaystyle{ a_{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = 2}\)

\(\displaystyle{ a_{4} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{5} = 2}\)
\(\displaystyle{ a_{6} = 3}\)

\(\displaystyle{ a_{7} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{8} = 2}\)
\(\displaystyle{ a_{9} = 3}\)
\(\displaystyle{ a_{10} = 4}\)

\(\displaystyle{ a_{11} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{12} = 2}\)
\(\displaystyle{ a_{13} = 3}\)
\(\displaystyle{ a_{14} = 4}\)
\(\displaystyle{ a_{15} = 5}\)

\(\displaystyle{ a_{16} = 1}\)
...

No mi na myśl przychodzi jakaś reszta z dzielenia... tylko że wtedy jest problem z wyznaczeniem liczby przez którą się dzieli

\(\displaystyle{ a_{1} = 1:0 \rightarrow r=1}\) (wiem wiem...)

\(\displaystyle{ a_{2} = 2:1 \rightarrow r=1}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = 3 :1 \rightarrow r=2}\)

\(\displaystyle{ a_{4} = 4:3 \rightarrow r=1}\)
\(\displaystyle{ a_{5} = 5:3 \rightarrow r=2}\)
\(\displaystyle{ a_{6} = 6:3 \rightarrow r=3}\)

\(\displaystyle{ a_{7} = 7:6 \rightarrow r= 1}\)
\(\displaystyle{ a_{8} = 8 :6\rightarrow r= 2}\)
\(\displaystyle{ a_{9} = 9:6 \rightarrow r= 3}\)
\(\displaystyle{ a_{10} = 10:6 \rightarrow r= 4}\)

\(\displaystyle{ a_{11} = 11 : 10 \rightarrow r=1 }\)
\(\displaystyle{ a_{12} = 12 : 10 \rightarrow r= 2}\)
\(\displaystyle{ a_{13} = 13 : 10 \rightarrow r= 3}\)
\(\displaystyle{ a_{14} = 14 : 10 \rightarrow r= 4}\)
\(\displaystyle{ a_{15} = 15 : 10 \rightarrow r= 5}\)

\(\displaystyle{ a_{16} = 16 : 15 = 1}\)
...

gdzie widzimy że kolejne dzielniki to \(\displaystyle{ 0,1,3,6,10,15...}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
\(\displaystyle{ 0+1 = 1}\)
\(\displaystyle{ 1 +2 = 3}\)
\(\displaystyle{ 3 + 3 = 6}\)
\(\displaystyle{ 6 + 4 = 10}\)
\(\displaystyle{ 10 + 5 = 15}\)
...

Ale to tylko takie moje spostrzeżenie które może być pomocne do wyznaczenia wyrazu \(\displaystyle{ n}\)-tego, może istnieje jakiś inny łatwiejszy sposób.

Liczby `1,3, 6,10,...` sa tzw. liczbami trójkątnymi i mają one postać \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\).
Aby obliczyć `k`-ty wyraz ciągu `a_k` wystarczy od "numerka" ciągu odjąć największą liczbę trójkątną nie większą niż `k` i do tej różnicy dodać jedynkę.

RAchunki zostawiam Tobie.

a4karo pisze: 6 mar 2021, o 16:28 Aby obliczyć `k`-ty wyraz ciągu `a_k` wystarczy od "numerka" ciągu odjąć największą liczbę trójkątną nie większą niż `k` i do tej różnicy dodać jedynkę.

Nie chce zabrzmieć niegrzecznie ale ja o tym doskonale wiem - właśnie o to pytam - jak wyznaczyć największą liczbę trójkątną mniejszą od wyrazu k-tego

Rozwiąż równanie z `x` zamiast `n` a potem weź część całkowitą

No właśnie próbuje cały dzień to zrobić.
Próbowałem z zaokrąglaniem i w dół i w górę i klasycznie zarówno z logarytmami jak i pierwiastkami i z odwróconymi hiperbolami i kurde blaszka nic mi ta nie pasuje dlatego rozpaczam tu o pomoc

Zrób to, co napisałem i pokaz co wyszło

a4karo pisze: 6 mar 2021, o 18:21 Rozwiąż równanie z `x` zamiast `n` a potem weź część całkowitą

W ramach ciekawistki dodam że prawie się rozpłakałem ze szczęcia kiedy okazało się że równanie zgadza się dla

podłoga z \(\displaystyle{ a_{n} = \sum_{1}^{n} \frac{e}{n} }\) ale niestety w końcu przestało się sprawdzać ;-(

Dodano po 40 minutach 37 sekundach:

a4karo pisze: 6 mar 2021, o 18:47 Zrób to, co napisałem i pokaz co wyszło

Chyba nie zrozumiałem co miałeś na myśli

no mamy:

\(\displaystyle{ y = f(x) }\)
PS (Jak w latexie zrobić znak podłogi?)


No i próbowałem znaleźć taką funkcje aby dawała dla kolejnych zaokrąglonych w dół x-ów takie y których chciałem

Ja jestem z tych osób które nie lubią aby podawać im rozwiązanie na tacy i myśle że z obliczeniami sam sobie poradzę jednak prosiłbym w miarę możliwości alby napisał pan troche jaśniej o co chodzi albo jak wygląda ta funkcja a ja myśle że dalej sobie poradzę

Szukasz `a_n`
Rozwiąż równanie `x(x+1)/2 =n`

Pomyśl jak znając to rozwiązanie znajdziesz największą liczbę trójkątna mniejszą lub równa `n`

a4karo pisze: 6 mar 2021, o 19:50 Szukasz `a_n`
Rozwiąż równanie `x(x+1)/2 =n`

Pomyśl jak znając to rozwiązanie znajdziesz największą liczbę trójkątna mniejszą lub równa `n`

Wiem, właśnie to robię, właśnie od rana na tym etapie jestem.

Znam wzór na liczby trójkątne (tak naprawdę u mnie byłą tu soma ciągu arytmetycznego który akurat pokrywa się z liczbami trójkątnymi)
i właśnie wszystkie moje wysyłki polegają na tym, że znając ten wzór, znaleźć wzór na to aby znając dowolną liczbę k wyznaczyć największą liczbę trójkątną nie większą niż liczba k. To jest problem nad którym siedzę od rana.

0bcy pisze: 6 mar 2021, o 19:32PS (Jak w latexie zrobić znak podłogi?)

W latexie nie zrobisz, ale w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)u robisz go tak: \(\displaystyle{ \lfloor...\rfloor}\) \lfloor...\rfloor
albo nawet tak: \(\displaystyle{ \left\lfloor\frac12\right\rfloor}\) \left\lfloor...\right\rfloor (jeżeli wyrażenie w środku jest wysokie).

JK

Ok dzięki chyba mi się udało - oto rezultat, z tego co widzę to prawidłowy

Dodano po 11 minutach 4 sekundach:
\(\displaystyle{ a_{n} = -\left( \left\lfloor \frac{\sqrt{1+8n}}{2} \right\rfloor \right) ^2 +\left\lfloor \frac{\sqrt{1+8n}}{2} \right \rfloor + n }\)

Dla `n=10` Twój wzór daje wynik `-2`