Matematyka.pl

Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=x^2+bx+c}\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \(\displaystyle{ 1+c>b}\).

Moje pytanie brzmi, czy można po prostu policzyć wartość tej funkcji w minus jedynce i następnie założyć, że ta wartość będzie dodatnia? Stąd już błyskawicznie mamy tezę. Moje wątpliwości z tym rozwiązaniem związane są z tym, że wykażeęto tylko dla jednego argumentu przecież.

41421356 pisze: 4 mar 2021, o 19:03 Moje pytanie brzmi, czy można po prostu policzyć wartość tej funkcji w minus jedynce i następnie założyć, że ta wartość będzie dodatnia?

Tak to poprawne rozwiązanie. Ale formalnie nic tu nie zakładasz. To, że \(\displaystyle{ f(-1)>0}\) wynika z informacji w zadaniu. Po pierwsze brak rzeczywistych rozwiązań mówi, że parabola jest całkowicie nad albo całkowicie pod osią. Ale przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest liczba dodatnia więc to jest parabola z ramionami w górę. Więc parabola jest całkowicie nad osią \(\displaystyle{ x}\). Więc \(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). Potem nie ma problemu aby wstawić konkretną wartość \(\displaystyle{ x=-1}\). Bo jeśli coś działa zawsze to działa też dla konkretnego przypadku.

Ok, ale jak policzę wartość tej funkcji dla plus jedynki i znowu przyjmę, że będzie to wartość większa od zera to uzyskam inną tezę:

\(\displaystyle{ 1+c>-b}\),

która z kolei przeczy tezie z zadania.

41421356 pisze: 4 mar 2021, o 20:06 która z kolei przeczy tezie z zadania.

W jaki sposób \(\displaystyle{ 1+c>-b}\) przeczy \(\displaystyle{ 1+c>b}\)?

Łatwo wskazać przykład par liczb \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\), które spełniają jedną nierówność, a nie spełniają drugiej.

41421356 pisze: 5 mar 2021, o 00:40 Łatwo wskazać przykład par liczb \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\), które spełniają jedną nierówność, a nie spełniają drugiej.

No i co z tego? To oznacza tylko, że żadna z tych nierówności nie pociąga drugiej, a nie, że są ze sobą sprzeczne.

JK

Chyba już rozumiem. Po prostu z założeń zadania wynika wiele różnych implikacji, a autorzy zadania po prostu pytają o uzasadnienie jednej z nich.

Tak, ale nie "z założeń zadania wynika wiele różnych implikacji", tylko "z założeń zadania wynika wiele różnych wniosków".

JK

Dziękuję za pomoc, już wszystko jasne.

Warto dodać, że to zadanie (nr 34) pochodzi z wczorajszej próbnej matury (poziom podstawowy).