Matematyka.pl

Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+7)(x+1)}>x+3 }\)

Niby wydaje się proste zadanko, ale jak je najlepiej rozwiązać, żeby się tu nie pogubić?

Musi być \(\displaystyle{ (x+7)(x+1) \ge 0}\), bo pierwiastek i dalej już tylko takie \(\displaystyle{ x}\) się rozpatrujemy. Następnie, lewa strona jest nieujemna, więc jeśli \(\displaystyle{ x+3 < 0}\), to nierówność jest zawsze spełniona. Z kolei jeśli \(\displaystyle{ x+3 \ge 0}\), to obie strony są nieujemne i można podnieść do kwadratu.

No właśnie, to ja też tak myślałem, czyli w zasadzie wystarczy wyznaczyć dziedzinę tej nierówności i następnie ograniczyć ją do takiego zbioru jaki wyjdzie z tych dwóch przypadków, więc czy to będzie tak:
Dziedzina \(\displaystyle{ D=(-\infty,-7) \cup (-1,+\infty)}\). Pierwszy przypadek dla \(\displaystyle{ x<-3}\), wówczas rozwiązaniem jest to co zostanie z dziedziny przy tym warunku czyli w rozwiązaniu będzie \(\displaystyle{ (-\infty,-7)}\). Drugi przypadek \(\displaystyle{ x \ge -3}\), wówczas podnosimy do kwadratu i rozwiązując otrzymujemy nierówność \(\displaystyle{ x>1}\), zatem z tego przypadku dostajemy otrzymujemy \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\) i bierzemy część wspólną z dziedziny czyli dostajemy \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\) i ten przedział będzie w rozwiązaniu. Zatem ostatecznie rozwiązanie czyli suma tych dwóch przypadków to \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-7) \cup (1,+\infty)}\). Czy takie rozumowanie jest dobre?

Tak, tylko wszędzie włącz \(\displaystyle{ -7}\), bo pod pierwiastkiem może być \(\displaystyle{ 0}\).

A faktycznie.