Matematyka.pl

Witam,

czytając dowód twierdzenia o kolumnach macierzy () natrafiłem na niejasny dla mnie krok. Autor zapisuje kolumny pewnej macierzy jako `c_n = [a_{1n}, a_{2n},...,a_{n\n}}]^{T}` po czym pisze, iz możemy potraktować je jako bazę pewnej przestrzeni wektorowej której bazą są równiez wektory jednostkowe `e_i` I tutaj wszystko jasne, bo ponieważ ten pierwszy zbiór wektorów jest liniowo niezależny to jest automatycznie bazą tej przestrzeni. Natomiast niejasny jest dla mnie krok kolejny w którym piszem iż możemy wyrazić wektory którejkolwiek z baz używając wektorów innej bazy i zapisuje np.
`c_1 = [a_{11}e_1 + a_{21}e_2 + ... + a_{n1}e_n]`
i tego własnie nie rozumime. Jak nasza oryginalna macierz kolumnowa stała się nagle sumą iloczynu swoich elemtów oraz poszczególnych wektorów jednostkowych?

Dziękuję za pomoc.

Jeśli pytasz dlaczego zachodzi równość

\(\displaystyle{ a_{11} e_1 + a_{21} e_2 + \ldots + a_{n1} e_n = [a_{11}, a_{21}, \ldots, a_{n1}]^T}\)

to odpowiedź jest prosta - oblicz lewą stronę i wyjdzie.

Dasio11 pisze: 19 lut 2021, o 14:58 Jeśli pytasz dlaczego zachodzi równość

\(\displaystyle{ a_{11} e_1 + a_{21} e_2 + \ldots + a_{n1} e_n = [a_{11}, a_{21}, \ldots, a_{n1}]^T}\)

to odpowiedź jest prosta - oblicz lewą stronę i wyjdzie.

Tak dokładnie o to pytam. Z lewej strony nie wyjdzie prawa w tym sensie, że po prawej jest szereg a po lewj suma. Tak więc z iloczynu `a_{11}e_1` otrzymamy `a_{11}`, nastepnie z iloczynu `a_{21}e_2` otrzymamy `a_{21}` itd co finalnie da `c_1 = [a_{11} + a_{21}, ...]` zamiast oczekiwanego `c_1 = [a_{11}, a_{21}, ...]`

\(\displaystyle{ e_1}\) jest wektorem, więc z mnożenia \(\displaystyle{ a_{11} \cdot e_1}\) nie może wyjść liczba, tylko wektor. Zatem:

\(\displaystyle{ a_{11} e_1 + \ldots + a_{n1} e_n = a_{11} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{21} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \ldots + a_{n1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix}}\)

ahh no tak, dzieki @Dasio11