Matematyka.pl

Byłabym wdzięczna za pomoc, bo nie mogę zrozumieć, jak to robić, próbowałam kryterium Cauchy'ego ale tu nie pasuje(
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( {3n+2\over 3n+4} \right)^n}\)

Pomyśl o liczbie `e`

a4karo pisze: ↑15 lut 2021, o 21:23 Pomyśl o liczbie `e`

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( \frac {3n+2}{ 3n+4} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{3n+4-2}{ 3n+4} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{2}{3n+4} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{2}{\frac{3n+4}{2}} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[\left( 1 - \frac{2}{\frac{3n+4}{2}} \right)^{\frac{3n+4}{2}}\right]^{\frac{2n}{\frac{3n+4}{2}}} = e^{-\frac{2}{3}} }\)
Robiłam coś takiego, ale to chyba jest niepoprawnie.

Jak można drugi raz robić ten sam błąd?

kt26420 pisze: ↑15 lut 2021, o 21:14 bo nie mogę zrozumieć, jak to robić, próbowałam kryterium Cauchy'ego ale tu nie pasuje

A dlaczego zamierzasz stosować kryterium Cauchy'ego? Bo w ostatnim przykładzie, gdzie miałaś zły wynik, Premislav właśnie jego użył?

Dużo lepiej jest zrozumieć, kiedy (i jak) stosujemy "granicę z \(\displaystyle{ e}\)", a kiedy powinniśmy używać innych metod.

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{2}{3n+4} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( 1 \red{+} \frac{\red{1}}{\red{-}\frac{3n+4}{2}} \right)^n =...}\)

JK