Matematyka.pl

Witam od pewnego czasu mam problem z tym równaniem
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}= \frac{\sin x}{x}}\)
\(\displaystyle{ y(1)= -1}\)
Nie wiem za bardzo jak do niego podejść. Czy mógłbym prosić o pomoc?

To jest równanie liniowe pierwszego rzędu. Istnieje deterministyczna metoda ich rozwiązywania. Tu można zauważyć, że można zapisać:

\(\displaystyle{ xy'+y=\sin x}\)

czyli pomnożyłem równanie przez \(\displaystyle{ x}\)

a to jest:

\(\displaystyle{ xy'+x'y=\sin x}\)

a w tym można doszukać się wzory na pochodną iloczynu:

\(\displaystyle{ (xy)'=\sin x}\)

Zatem całkując stronami mamy:

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{x} \int_{}^{} \sin x \dd x }\)

dokończenie liczenia pozostawiam jako ćwiczenie.

W dalszej części wyszło mi tak:
Po całkowaniu
\(\displaystyle{ \frac{-\cos(x)}{x} + \frac{C}{x} }\)

I po wyliczeniu stałej \(\displaystyle{ C}\) (wynosi \(\displaystyle{ \cos(1)+1}\)) z równania różniczkowego niejednokrotnego rzędu 1 wyszła taka funkcja

\(\displaystyle{ y(x)=- \frac{\cos x}{x}+ \frac{\cos(1)+1}{x} }\)

Dobrze myślę?

Raczej: \(\displaystyle{ y(x)=- \frac{\cos x}{x}+ \frac{\cos(1)-1}{x} }\)