Matematyka.pl

Witam. Mam do ogarnięcia trzy zadania, które z tego co wiem korzystają z Tw. Weierstrassa o osiąganiu kresów. Problem jest taki, że nigdy nie miałam tego twierdzenia ani zadań z nim związanych i nie mam zielonego pojęcia o co chodzi.

Zadanie 1
Równanie \(\displaystyle{ x^3+x-1=0}\) ma jedno rozwiązanie należące do przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\). Przedział ten dzielimy na \(\displaystyle{ n}\) równych części. Sprawdź, do którego z przedziałów należy to rozwiązanie.
a) \(\displaystyle{ n=2}\)
b) \(\displaystyle{ n=4}\)

Generalnie widzę to na rysunku \(\displaystyle{ x^3 = -x +1}\), ale czy to wystarczy jako rozwiązanie?

Zadanie 2
Sprawdź, czy funkcja przyjmuje największa/najmniejszą wartość oraz sprawdź, czy można zastosować Tw. Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \left| x-2\right|&\text{dla }x \neq 2 \\ -2 &\text{dla } x=2\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} \sqrt{x} &\text{dla } x \in \left\langle 0,4\right\rangle \\ 2 - (x-4)^2 &\text{dla } x \in (4,5\rangle\end{cases} }\)

Zadanie 1 to należy skorzystać z twierdzenia Darboux.
Weźmy \(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}+x-1 }\) zauważmy, że \(\displaystyle{ f( \frac{1}{2})<0 }\) oraz \(\displaystyle{ f( \frac{3}{4})>0 }\)
Więc na mocy twierdzenia Darboux rozwiązanie równania należy do przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right) }\)

Zadanie 2
Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą ale nie przyjmuje wartości największej.
Funkcja g jest ciągła i określona na przedziale domkniętym a więc przyjmuje swoje kresy na mocy twierdzenia Weierstrassa.

PS
Wiem, że już trochę minęło od publikacji posta, ale jeśli autor już nie jest zainteresowany rozwiązaniem to może komuś innemu to pomoże.