Matematyka.pl

Oblicz całkę powierzchniową zorientowaną \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{} ( x^{4} dydz + y^{4} dzdx + z^{4} dxdy) }\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest zewnętrzną stroną powierzchni sześcianu \(\displaystyle{ [0,2] \times [0,2] \times [0,2]}\).

Czy w Tym zadaniu mogę skorzystać z tw. Gauss-Ostrogradski (twierdzenie o Dywergencji):
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{} ( P dydz + Q dzdx + R dxdy) = \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{V}^{} ( \frac{ \partial P}{ \partial x} + \frac{ \partial Q}{ \partial y} + \frac{ \partial R}{ \partial z})dxdydz }\)

czyli
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{} ( x^{4} dydz + y^{4} dzdx + z^{4} dxdy) = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2}(4x^{3} + 4y^{3} + 4z^{3})dzdydx }\)

i dalej obliczać jak zwykłą całkę potrójną?

Można obliczać jako całkę potrójną po obszarze sześcianu.

okej, tylko czy według tego twierdzenia, tak jak ja to zaproponowałem czy może w jakiś inny sposób ?

Dywergencję pola obliczyłeś poprawnie . Obszar po którym całkujesz też.

Oblicz całkę, stosując twierdzenie o dywergencji - Gaussa Ostrogradskiego. Sprawdź jej wartość, obliczając strumień wektora pola po wszystkich ścianach sześcianu.

dzięks za potwierdzenie. Rozwiązałem swój problem