Strona 1 z 1
Grupa Galois
: 3 lut 2021, o 15:24
autor: Iza8723
Jak wyznaczyć grupę Galois \(\displaystyle{ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{5},i):\mathbb{Q})}\)
Wyznaczyłam wielomiany minimalne obu elementów, ale co dalej. Jak wyznaczyć automorfizm ?
Re: Grupa Galois
: 3 lut 2021, o 15:54
autor: Janusz Tracz
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{5},i \right)=\text{span}_{\QQ}\left\{ 1, \sqrt{5},i, \sqrt{5}i \right\} }\) więc
\(\displaystyle{ \left[ \QQ\left( \sqrt{5},i \right):\QQ\right]=4 }\) zatem
\(\displaystyle{ \left| \text{Gal}\left( \QQ\left( \sqrt{5},i \right)/\QQ\right) \right|=4}\) (tu trzeba skorzystać jeszcze z własności ciała
\(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{5},i \right)}\) Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_group#Cardinality_of_the_Galois_group_and_the_degree_of_the_field_extension
). Czyli spodziewany się czterech automorfizmów i można je scharakteryzować tak:
\(\displaystyle{ \text{id}: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto \sqrt{5} \\ i \mapsto i\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \tau: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5} \\ i \mapsto i\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \sigma: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto \sqrt{5} \\ i \mapsto -i\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \tau \circ \sigma: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5} \\ i \mapsto -i\end{cases} }\)
No i
\(\displaystyle{ \text{Gal}\left( \QQ\left( \sqrt{5},i \right)/\QQ\right)=\left\{\text{id},\tau,\sigma,\tau\circ \sigma \right\} }\)