Nierówności

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Przemkooo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 24 sty 2007, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 56 razy

Nierówności

Post autor: Przemkooo » 17 paź 2007, o 18:28

Mam wykazać nierówności wykorzystując nierówność Schwarza:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq (\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2)(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2)}\)

Oto nierówności:
1.Dla każdego \(\displaystyle{ k = {1,...,n}}\), \(\displaystyle{ x_{k} >0}\)
\(\displaystyle{ (\sum_{k=1}^{n}x_{k})(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k}}) \geq n^2}\)

2.Dla każdego \(\displaystyle{ k\in{1,...,n}}\), \(\displaystyle{ x_{k} >0}\), \(\displaystyle{ x_{1}\cdot ... x_{n} = a}\), \(\displaystyle{ a\neq 1}\)
\(\displaystyle{ (\sum_{k=1}^{n}log_{a}a_{k})^2 q \frac{1}{n}}\)

Udowodnić to za pomocą przekształceń i iużywając tej nierówności, nie można wykazywać tego indukcją. Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Nierówności

Post autor: Sir George » 19 paź 2007, o 00:46

Ad.1. Podstaw \(\displaystyle{ a_i\,=\,{x_i}^{1/2}\,}\) oraz \(\displaystyle{ b_i\,=\,\frac1{{x_i}^{1/2}}\,}\).

Ad.2. Czy nie powinno być \(\displaystyle{ \ldots \log_a{x_i} \ldots}\) ?

Jeśli tak, to lewa strona równa się \(\displaystyle{ \log_a\big(x_1\cdots x_n\big)\,=\,1}\) ...

ODPOWIEDZ