Matematyka.pl

Dzień dobry, mam do wykonania następujące zadanie:

Dla następujących danych:
\(\displaystyle{ x_{i}}\) = 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2, 2.25, 2.5
\(\displaystyle{ f( x_{i} )}\) = 0.16, 0.99, 3.095, 4.485, 3.075, 1.01, 0.145

1) dokonać aproksymacji średniowarstwowej za pomocą wielomianu stopnia drugiego.
2) wyznaczyć parametry funkcji \(\displaystyle{ f(x) = e^{-( a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2})}}\), która w sensie najmniejszych kwadratów
aproksymuje te dane.

Wykonałem pierwszą część zadania:
\(\displaystyle{ f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{0} = -13.6091}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = 19.3094}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = - 5.5332}\)

Bardzo proszę o pomoc jak wykonać drugą część zadania, nie wiem jak wyznaczyć parametry funkcji \(\displaystyle{ f(x) = e^{-( a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2})}}\). Jestem początkujący w tej dziedzinie.

Proponuję zlogarytmować funkcję \(\displaystyle{ f(x) }\) logarytmem naturalnym

i przeprowadzić aproksymację średniokwadratową klasyczną metodą najmniejszych kwadratów (KMNK) w sensie normy \(\displaystyle{ \parallel \ln[f(x)]- w(x)\parallel. }\)

Mogę prosić o dokładniejsze wyjaśnienie jak to zrobić np. wzory?

\(\displaystyle{ \parallel \ln[f(x)]- w(x) \parallel = \left[\sum_{i=1}^{3} ( \ln [f(x_{i}] - w(x_{i}))^2 p(x_{i}) \right]^{\frac{1}{2}} }\)

Jako wagę przyjmujemy \(\displaystyle{ p(x_{i}) \equiv 1. }\)

Jako bazę układ \(\displaystyle{ \{ 1, x , x^2 \}. }\)

Proszę ułożyć i rozwiązać układ równań normalnych.

Dość trudno uwierzyć w to, że `e^{||\ln f(x) - w(x)||}=||f(x)-e^{w(x)}|| `. A to musiałoby zachodzić, żeby januszowa metoda dawała poprawny wynik, tym bardziej, że do określenie tej normy użyto jedynie trzech (nie wiadomo których) punktów z próbki.