Satelita Geostacjonarny
: 31 sty 2021, o 21:40
W podręczniku fizyki dla studentów tom I Wydawnictwa Openstax zamieszczono zadanie następującej treści:
Satelita znajduje się na geostacjonarnej orbicie kołowej odległej o \(\displaystyle{ 42 164 \ \ km }\) od centrum Ziemi. Z satelitą zderza się niewielka asteroida i wyrzuca go na eliptyczną orbitę z jej apogeum odległym o \(\displaystyle{ 45 000 \ \ km }\) od centrum Ziemi. Jaka jest prędkość satelity w apogeum? Załóżmy, że jej moment pędu w czasie zderzenia został zachowany.
Analiza zadania
Zadanie rozwiążemy przez porównanie prędkości kątowych satelity wokół orbity okołoziemskiej i orbity eliptycznej.
W tym celu obliczymy, prędkość kątową obrotu Ziemi wokół własnej osi i prędkość kątową satelity wokół osi eliptycznej.
Okres obiegu Ziemi \(\displaystyle{ T_{0} }\) wokół własnej osi wynosi
\(\displaystyle{ T_{Z} = 23,934 (h) \cdot \frac{3600 (s)}{1 (h)} = 86, 16 \cdot 10^3 \ \ s }\)
Prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół osi
\(\displaystyle{ \omega_{Z} = \frac{2\pi}{T_{Z}} = \frac{2\pi}{86,16\cdot 10^3} = 7,292\cdot 10^{-5} \frac{rad}{s}. }\)
Rozwiązanie
Stosujemy zasadę zachowania momentu pędu
\(\displaystyle{ L_{Z} = L_{E} }\)
\(\displaystyle{ I_{Z} \cdot \omega_{Z} = I_{E}\cdot \omega_{E} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot r^2_{Z} \cdot \omega_{Z} = m \cdot r^2_{E} \cdot \omega_{E} | \cdot \frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ r^2_{Z} \cdot \omega_{Z} = r^2_{E}\cdot \frac{v_{E}}{r_{E}} }\)
\(\displaystyle{ r^2_{Z} \cdot \omega_{Z} = r_{E}\cdot v_{E} }\)
Stąd prędkość liniowa \(\displaystyle{ v_{E} }\) satelity geostacjonarnego na orbicie eliptycznej
\(\displaystyle{ v_{E} = \frac{r^2_{Z}\cdot \omega_{Z}}{r_{E}} }\)
\(\displaystyle{ v_{E} = \frac{(42164\cdot 10^3)^2 (m^2) \cdot (7,292\cdot 10^{-5}) \left(\frac{rad}{s} \right)}{45\cdot 10^6 (m)} = 2880,831 \ \ \frac{m}{s} = 2881 \ \ \frac{m}{s}. }\)
Odpowiedź: prędkość satelity \(\displaystyle{ v_{E} }\) w apogeum orbity eliptycznej wynosi \(\displaystyle{ 2881 \ \ \frac{m}{s} .}\)
Satelita znajduje się na geostacjonarnej orbicie kołowej odległej o \(\displaystyle{ 42 164 \ \ km }\) od centrum Ziemi. Z satelitą zderza się niewielka asteroida i wyrzuca go na eliptyczną orbitę z jej apogeum odległym o \(\displaystyle{ 45 000 \ \ km }\) od centrum Ziemi. Jaka jest prędkość satelity w apogeum? Załóżmy, że jej moment pędu w czasie zderzenia został zachowany.
Analiza zadania
Zadanie rozwiążemy przez porównanie prędkości kątowych satelity wokół orbity okołoziemskiej i orbity eliptycznej.
W tym celu obliczymy, prędkość kątową obrotu Ziemi wokół własnej osi i prędkość kątową satelity wokół osi eliptycznej.
Okres obiegu Ziemi \(\displaystyle{ T_{0} }\) wokół własnej osi wynosi
\(\displaystyle{ T_{Z} = 23,934 (h) \cdot \frac{3600 (s)}{1 (h)} = 86, 16 \cdot 10^3 \ \ s }\)
Prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół osi
\(\displaystyle{ \omega_{Z} = \frac{2\pi}{T_{Z}} = \frac{2\pi}{86,16\cdot 10^3} = 7,292\cdot 10^{-5} \frac{rad}{s}. }\)
Rozwiązanie
Stosujemy zasadę zachowania momentu pędu
\(\displaystyle{ L_{Z} = L_{E} }\)
\(\displaystyle{ I_{Z} \cdot \omega_{Z} = I_{E}\cdot \omega_{E} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot r^2_{Z} \cdot \omega_{Z} = m \cdot r^2_{E} \cdot \omega_{E} | \cdot \frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ r^2_{Z} \cdot \omega_{Z} = r^2_{E}\cdot \frac{v_{E}}{r_{E}} }\)
\(\displaystyle{ r^2_{Z} \cdot \omega_{Z} = r_{E}\cdot v_{E} }\)
Stąd prędkość liniowa \(\displaystyle{ v_{E} }\) satelity geostacjonarnego na orbicie eliptycznej
\(\displaystyle{ v_{E} = \frac{r^2_{Z}\cdot \omega_{Z}}{r_{E}} }\)
\(\displaystyle{ v_{E} = \frac{(42164\cdot 10^3)^2 (m^2) \cdot (7,292\cdot 10^{-5}) \left(\frac{rad}{s} \right)}{45\cdot 10^6 (m)} = 2880,831 \ \ \frac{m}{s} = 2881 \ \ \frac{m}{s}. }\)
Odpowiedź: prędkość satelity \(\displaystyle{ v_{E} }\) w apogeum orbity eliptycznej wynosi \(\displaystyle{ 2881 \ \ \frac{m}{s} .}\)