Matematyka.pl

Dzień dobry,

proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ |Z _{1} + Z _{2} | = |Z _{1} - Z _{2} | }\) to różnica argumentów \(\displaystyle{ Z _{1}, Z _{2} }\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} }\).

Robię tak, że obliczam moduły oby wyrażeń następnie podnoszę do kwadratu i dochodzę do równania, że \(\displaystyle{ x_{1} x_{2} = - y_{1} y_{2} }\) i nie wiem co dalej.

Szkic, nie wdając się w szczegóły tupu \(\displaystyle{ Z_1=Z_2}\) które należy sprawdzić osobno zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ \left| Z_1+Z+2\right|=\left| Z_1-Z_2\right| }\) to \(\displaystyle{ \left| \frac{Z_1}{Z_2} +1\right|=\left| \frac{Z_1}{Z_2} -1\right| }\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest czysto urojone. To znaczy \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest postaci \(\displaystyle{ 0+bi}\). Zatem \(\displaystyle{ \text{Arg}\left( \frac{Z_1}{Z_2}\right) }\) to \(\displaystyle{ \pm \frac{ \pi }{2} }\).

Janusz Tracz pisze: 27 sty 2021, o 22:31 Szkic, nie wdając się w szczegóły tupu \(\displaystyle{ Z_1=Z_2}\) które należy sprawdzić osobno zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ \left| Z_1+Z+2\right|=\left| Z_1-Z_2\right| }\) to \(\displaystyle{ \left| \frac{Z_1}{Z_2} +1\right|=\left| \frac{Z_1}{Z_2} -1\right| }\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest czysto urojone. To znaczy \(\displaystyle{ \frac{Z_1}{Z_2} }\) jest postaci \(\displaystyle{ 0+bi}\). Zatem \(\displaystyle{ \text{Arg}\left( \frac{Z_1}{Z_2}\right) }\) to \(\displaystyle{ \pm \frac{ \pi }{2} }\).

Nie rozumiem. Czemu dzielisz przez \(\displaystyle{ z_{2} }\) skoro to jest \(\displaystyle{ x_{2} + y_{2}i }\) a \(\displaystyle{ | z_{1} + z_{2}| }\) to \(\displaystyle{ \sqrt{( x_{1} +x_{2}) ^{2} + (y_{1} +y_{2}) ^{2} )} }\)?

A co ma jedno do drugiego?

a4karo pisze: 28 sty 2021, o 14:02 A co ma jedno do drugiego?

jak to co? nie rozumiem czemu wykonał takie działanie. \(\displaystyle{ | z_{1} +z _{2} | }\) to jest zapis symboliczny, czyż nie? Rozumiem jakby to była wartość bezwzględna ale nie moduł liczby zespolonej

To nie jest zapis symboliczny. To jest konkretna liczba rzeczywista. Podlega takim samym prawom jak wartość bezwzgledna. Mam wrażenie, że nie rozumiesz znaczenia mdułu liczby zespolonej

Dodano po 1 minucie 54 sekundach:
Swoją drogą w pośćie JT jest drobne typo: zamiast `|Z_1+Z+2|` powinno być `|Z_1+Z_2|`, ale mam nadzieję że to zauważyłeś.

Dzięki za odpowiedzi