Para uporządkowana

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
balrog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 17 paź 2007, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krakow

Para uporządkowana

Post autor: balrog » 17 paź 2007, o 17:28

definicja pary uporządkowanej to:
\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\)

dlaczego \(\displaystyle{ x}\) po prawej stronie występuje dwa razy, czy nie można by tego zapisać:
\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\}, \{y\} \}}\) albo w ogóle \(\displaystyle{ (x,y) = \{ x, y \}}\)?
jaki cel mają te podzbiory, dlaczego \(\displaystyle{ x}\) jest w nich zawarty dwukrotnie?

będę wdzięczny za pomoc
Ostatnio zmieniony 4 paź 2013, o 22:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27860
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Para uporządkowana

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2007, o 20:24

Widzisz, podstawową własnością pary uporządkowanej jest ta:
\(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\). Para uporządkowana zdefiniowana w sposób podany przez Ciebie na początku spełnia ten warunek, a w sposób proponowany przez Ciebie - niestety nie.

JK

Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Para uporządkowana

Post autor: Jonarz » 4 paź 2013, o 22:27

Przepraszam, że "odkopuję" temat, ale właśnie się zastanawiam nad pytaniem postawionym w pierwszym poście - dlaczego zapis jest akurat taki (\(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\))? Mógłby Pan (lub ktokolwiek inny) zapisaną przez Pana odpowiedź przedstawić na przykładzie lub jakoś rozwinąć tak, żeby było to nieco jaśniejsze?
Ostatnio zmieniony 4 paź 2013, o 22:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Awatar użytkownika
Vardamir
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Para uporządkowana

Post autor: Vardamir » 4 paź 2013, o 22:47

Weźmy na przykład to podejście \(\displaystyle{ (x,y) = \{ \{x\}, \{y\} \}}\).

Para uporządkowana ma spełniać:
Jan Kraszewski pisze: \(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\)
Teraz weźmy takie pary uporządkowane \(\displaystyle{ (1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1)}\). Wówczas okazuje się, że \(\displaystyle{ \{1,0\}=\{0,1\}}\), pomimo że podana własność nie jest spełniona.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27860
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Para uporządkowana

Post autor: Jan Kraszewski » 4 paź 2013, o 22:50

Jak napisałem powyżej, podstawą własnością pary uporządkowanej jest
Jan Kraszewski pisze:\(\displaystyle{ (a,b)=(c,d)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\).
i tak naprawdę przeciętnemu matematykowi nic więcej do szczęścia nie potrzeba.

Są jednak tacy matematycy, którzy mają dziwne fobie i martwią się, czy to, co sobie wymyśliliśmy, naprawdę istnieje (niektórzy nazywają ich teoriomnogościowcami). Postanowili oni, że nie będą wierzyć w parę uporządkowaną, dopóki jej porządnie (w swoim mniemaniu) nie zdefiniują. I udało im się to - wymyslili taką definicję:

\(\displaystyle{ (a,b):=\{\{a\}, \{a.b\}\}}\).

Okazuje się, że tak zdefiniowana para uporządkowana ma wspomnianą przeze mnie własność (co każdy może sobie udowodnić). Teoriomnogościowcy odetchnęli - para uporządkowana istnieje! Nawiasem mówiąc, inni matematycy, odlegli od teorii mnogości, nawet nie zauważyli, że zaszło coś istotnego - oni od dawna używali pary uporządkowanej i nie mieli problemów egzystencjalnych z tym związanych. Cierpią tylko studenci, gdy zdarzy im się, że teoriomnogościowiec, który ich uczy, postanowi przekonać ich o doniosłości odkrycia definicji pary uporządkowanej (bo studenci ci mają zazwyczaj spory kłopot ze szczerym docenieniem owej doniosłości).
Vardamir pisze:Wówczas okazuje się, że \(\displaystyle{ \{1,0\}=\{0,1\}}\),
Raczej \(\displaystyle{ \{\{1\},\{0\}\}=\{\{0\},\{1\}\}.}\)

JK

Awatar użytkownika
Vardamir
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Para uporządkowana

Post autor: Vardamir » 4 paź 2013, o 22:56

Jan Kraszewski pisze:
Vardamir pisze:Wówczas okazuje się, że \(\displaystyle{ \{1,0\}=\{0,1\}}\),
Raczej \(\displaystyle{ \{\{1\},\{0\}\}=\{\{0\},\{1\}\}.}\)

JK
Faktycznie, zagalopowałem się. Przyjąłem jedną wersje, a zasugerowałem się drugą.

Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Para uporządkowana

Post autor: Jonarz » 4 paź 2013, o 22:59

Więc zapis \(\displaystyle{ \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\) w powyższym wyrażeniu wskazuje na to, że ta para musi być uporządkowana w podanej kolejności, ale elementy \(\displaystyle{ (x,y)}\) "wstawiamy" jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a nie jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x,y}\) - czy dobrze to rozumiem? I czy zdefiniowanie "pary uporządkowanej" jako "pary liczb lub elementów, dla których ustalona została kolejność tychże" będzie właściwe i pełne?

Dziękuję bardzo za obie powyższe odpowiedzi
Ostatnio zmieniony 4 paź 2013, o 23:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Para uporządkowana

Post autor: liu » 4 paź 2013, o 23:10

Jan Kraszewski pisze:Teoriomnogościowcy odetchnęli - para uporządkowana istnieje! Nawiasem mówiąc, inni matematycy, odlegli od teorii mnogości, nawet nie zauważyli, że zaszło coś istotnego - oni od dawna używali pary uporządkowanej i nie mieli problemów egzystencjalnych z tym związanych. Cierpią tylko studenci, gdy zdarzy im się, że teoriomnogościowiec, który ich uczy, postanowi przekonać ich o doniosłości odkrycia definicji pary uporządkowanej (bo studenci ci mają zazwyczaj spory kłopot ze szczerym docenieniem owej doniosłości).
Co ciekawe niektórzy nazywają ten twór "parą uporządkowaną w sensie Kuratowskiego" - myślę, że Profesor się w grobie przewraca:)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27860
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Para uporządkowana

Post autor: Jan Kraszewski » 4 paź 2013, o 23:10

Jonarz pisze:Więc zapis \(\displaystyle{ \{ \{x\} , \{x,y\} \}}\) w powyższym wyrażeniu wskazuje na to, że ta para musi być uporządkowana w podanej kolejności, ale elementy \(\displaystyle{ (x,y)}\) "wstawiamy" jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a nie jako \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ x,y}\) - czy dobrze to rozumiem?
Tak, choć w przypadku pary uporządkowanej nie mówimy o elementach, tylko o współrzędnych (albo o poprzedniku i następniku pary).
Jonarz pisze:I czy zdefiniowanie "pary uporządkowanej" jako "pary liczb lub elementów, dla których ustalona została kolejność tychże" będzie właściwe i pełne?
Pytasz mnie jako teoriomnogościowca?
Będzie to właściwy opis pary uporządkowanej.

JK

Jonarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 2 paź 2013, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 11 razy

Para uporządkowana

Post autor: Jonarz » 4 paź 2013, o 23:14

Tak, choć w przypadku pary uporządkowanej nie mówimy o elementach, tylko o współrzędnych (albo o poprzedniku i następniku pary).
Zapamiętam, dziękuję.

Dziękuję za pomoc, teraz wydaje się to o wiele jaśniejsze i sensowne

ODPOWIEDZ