Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A=\{(a,b) \:|\: a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Q}\}}\). Niech \(\displaystyle{ \sigma(A)}\) będzie ciałem mierzalnym generowanym przez \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ \beta}\) będzie \(\displaystyle{ \sigma}\) ciałem Borelowskim. Czy zachodzi \(\displaystyle{ \sigma(A)=\beta}\).

Jest to zadanie wstępne do pracy domowej ale już na nim się zaciąłem. Dowodziłem najpierw zawieranie w jedną stronę a potem w drugą ale chyba nie rozumiem za bardzo co robię. Zacząłem od definicji. \(\displaystyle{ \sigma(A)}\) to część wspólna wszystkich \(\displaystyle{ \sigma}\) ciał zawierających \(\displaystyle{ A}\) ale nie umiem tego połączyć z tym że początek odcinka jest całkowity a koniec wymierny. Mógłby ktoś w miarę przystępnie wytłumaczyć jak się robi takie zadanie abym mógł ruszyć z dalszymi przykładami i jakoś lepiej to ogarnąć?

W jedną stronę jest trywialnie: ponieważ \(\displaystyle{ A \subseteq \beta}\), więc \(\displaystyle{ \sigma(A) \subseteq \sigma(\beta)=\beta.}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: 26 sty 2021, o 11:39 ponieważ \(\displaystyle{ A \subseteq \beta}\)

To wynika z tego, że zbiór borelowski definiuje się jako element należący do przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) generowanej przez rodzinę zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) ?

A w drugą stronę można pokazać, że każdy zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) można przedstawić za pomocą sum, przekrojów, dopełnień zbiorów rodziny \(\displaystyle{ A}\). Po pierwsze każdy zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ U= \bigcup_{i=1}^{ \infty }\left( a_i,b_i\right) }\) dla pewnych \(\displaystyle{ a_i,b_i\in\RR}\). Ale każdy przedział \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\) gdzie \(\displaystyle{ a \le b}\) i \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\) można przedstawić jako \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty } \left( x_n,y_n\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x_n,y_n\in\QQ}\). A każdy taki przedział \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) o wymiernych końcach można przedstawić jako \(\displaystyle{ \left( - \infty ,y\right) \setminus \left[ \left( - \infty ,x\right) \cup \left\{ x\right\} \right] }\). Czyli mamy:


co oznacza, że wystarczy pokazać, że w \(\displaystyle{ \sigma(A)}\) są wszystkie singletony liczb wymiernych by wykazać, że \(\displaystyle{ \beta \subseteq \sigma(A)}\).

Janusz Tracz pisze: 26 sty 2021, o 12:20 co oznacza, że wystarczy pokazać, że w \(\displaystyle{ \sigma(A)}\) są wszystkie singletony liczb wymiernych by wykazać, że \(\displaystyle{ \beta \subseteq \sigma(A)}\).

Czyli wystarczy pokazać, że pokazać, że w \(\displaystyle{ A}\) są wszystkie singletony liczb wymiernych? Bo dobrze rozumiem, że jeśli \(\displaystyle{ k\in A}\) to również \(\displaystyle{ k\in \sigma(A)}\)?

Tak wystarczy już tylko pokazać, że singletony liczb wymiernych są w \(\displaystyle{ \sigma (A)}\). Być może da się uniknąć tego w dowodzie ale idea jest tak, że:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ustalam dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ U\in\mathcal{U}}\). Bo \(\displaystyle{ \beta =\sigma(\mathcal{U})}\) (z definicji).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Zapisuje ów zbiór w terminach zbiorów generujących \(\displaystyle{ \sigma(A)}\). Czyli najlepiej właśnie korzystać z tego co znajduje się bezpośrednio w \(\displaystyle{ A}\). Bo \(\displaystyle{ A \subseteq \sigma(A)}\).

I to udało się w większości zrobić bo okazuje się, że zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) można zapisać w postaci:
A nawet

No i z tego już prawie wynika, że \(\displaystyle{ U\in \sigma(A)}\). Bo \(\displaystyle{ \sigma(A)}\) jest zamknięta na sumy, iloczyny, dopełnienia, równice. A to, że zawsze \(\displaystyle{ \left( \ell,x_{n,i}\right)\in \sigma(A) }\) to mamy z definicji. Więc brakuje jeszcze tylko singletonów liczb wymiernych. Wtedy dowolny \(\displaystyle{ U}\) będzie można wygenerować za pomocą \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{U} \subseteq \sigma (A)}\). Czyli \(\displaystyle{ \sigma\left( \mathcal{U}\right) \subseteq \sigma\left( \sigma (A)\right) }\) czyli po prostu \(\displaystyle{ \sigma\left( \mathcal{U}\right) \subseteq \sigma(A)}\) a to jest \(\displaystyle{ \beta \subseteq \sigma( A)}\).

Rokush pisze: 26 sty 2021, o 11:51To wynika z tego, że zbiór borelowski definiuje się jako element należący do przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) generowanej przez rodzinę zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) ?

No tak to się nie definiuje...

Zbiór borelowski to zbiór należący do \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała podzbiorów prostej \(\displaystyle{ \RR}\), generowanego przez otwarte podzbiory prostej.

JK