Matematyka.pl

Podstawą ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ BCD}\) o kącie prostym przy wierzchołku \(\displaystyle{ D}\). Punkt \(\displaystyle{ B}\) jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa. Dane są \(\displaystyle{ BD=p, CD=q, AB=s}\). Obliczyć długość promienia sfery wpisanej w ten ostrosłup.

Jak to zrobić? Nie wiem zbytnio jak uchwycić te punkty styczności.

Umieść `B` w początku układu współrzędnych. Osie układu pokrywaja się z krawędziami ostrosłupa. Środek kuli leży na prostej `x=y=z` a kula jest styczna do `ACD`

Albo od razu: \(\displaystyle{ r= \frac{2V}{S} }\)

kerajs pisze: ↑21 sty 2021, o 09:40 Albo od razu: \(\displaystyle{ r= \frac{2V}{S} }\)

Chyba trzy zamiast dwa.

piasek101 pisze: ↑21 sty 2021, o 10:49

kerajs pisze: ↑21 sty 2021, o 09:40 Albo od razu: \(\displaystyle{ r= \frac{2V}{S} }\)

Chyba trzy zamiast dwa.

Słusznie. Miał być: \(\displaystyle{ r= \frac{3V}{S} }\)
W ramach pokuty podam oczywistość, że z tw. Pitagorasa należy wyliczyć pozostałe krawędzie, a z wzoru Herona pole jedynego nieprostokątnego trójkąta.

Nie no, muszę zrobić to zadanie metodami syntetycznymi, a nie analitycznymi. Nie wiem też skąd wzór \(\displaystyle{ r= \frac{3V}{S}}\). Dlatego proszę jeszcze o pomoc pod tym kątem.

max123321 pisze: ↑21 sty 2021, o 23:41 Nie wiem też skąd wzór \(\displaystyle{ r= \frac{3V}{S}}\).

Jeśli w bryłę o \(\displaystyle{ n}\) ścianach (posiadających pola \(\displaystyle{ S_1, S_2, ..., S_n)}\) moża wpisać sferę o promieniu \(\displaystyle{ r}\), to bryłę tę można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) ostrosłupów o podstawach będących ścianami bryły i wysokościach \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ V= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3}S_i r= \frac{r}{3} \sum_{i=1}^{n} S_i = \frac{1}{3}Sr\\
r= \frac{3V}{S} }\)

max123321 pisze: ↑21 sty 2021, o 23:41 Nie no, muszę zrobić to zadanie metodami syntetycznymi, a nie analitycznymi.

Jakoś nie widzę takiej informacji w treści tematu.
Może wypisz metody którymi masz rozwiązać to zadanie.

Aha no dobra to podzielenie bryły na ostrosłupy to faktycznie można uznać za metodę syntetyczną. No to w takim razie wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ r= \frac{2pqs}{ps+pq+ \sqrt{p^2+q^2}s+ \sqrt{p^2+s^2}q } }\)

Może ktoś potwierdzić czy to dobry wynik?

Nie ma co sprawdzać. Jest niepoprawny, bo nie jest symetryczny że względu na wszystkie zmienne

A dlaczego ma być symetryczny? Przecież to nie jest czworościan foremny.

Ale wynik nie zależy od kolejności boków.

Nie wiem o co Ci chodzi. Napisz jaśniej.

Promień kuli wpisanej nie zmieni się gdy zamienisz dowolnie rolami `p, q, s`, więc wzór musi być symetryczny że względu na te zmienne

No jak się nie zmieni. Zmieni się. W tym zadaniu nie ma symetrii. \(\displaystyle{ s}\) jest przyprostokątną dwóch trójkątów, \(\displaystyle{ p}\) też dwóch trójkątów, a \(\displaystyle{ q}\) tylko jednego trójkąta, więc nie ma powodu, żeby odpowiedź była symetryczna.

Przepraszam
Wydawało mi się, że `D` jest spodkiem wysokości.
Wydaje mi się, że W Twoim wzorze nie powinno być dwójki w mianowniku (`V=\frac{pqs} {6}`)