Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P(x), Q(x) }\) formami zdaniowymi. Czy zdania:
\(\displaystyle{ (\forall{x})(\forall{y})(P(x) \Rightarrow Q(y))}\)
oraz
\(\displaystyle{ (\forall{x})(P(x)) \Rightarrow(\forall{y})(Q(y)) }\)
są równoważne?

Nie.

JK

A czy mógłbym prosić o jakiś kontrprzykład. Ewentualnie wyjaśnienie, dlaczego równoważność nie zachodzi.

Zakładając że dziedzina jest skończona, formy zdaniowe są jednoznacznie zadane przez tabelkę taką jak poniżej:

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline
x & x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n \\ \hline
P(x) & 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\
Q(x) & 1 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \hline
\end{array}}\)

W oba wiersze można w dowolny sposób wpisać zera i jedynki, co odpowiada różnym formom \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Zastanów się, co podane zdania mówią o tabelce, a później spróbuj znaleźć taką tabelkę, żeby dokładnie jedno ze zdań było prawdziwe.

A jak wpaść na odpowiedź? Można spróbować przekształcić jedno zdanie równoważnie w drugie:

\(\displaystyle{ (\forall{x})(\forall{y})(P(x) \Rightarrow Q(y)) \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow (\forall{x})(\forall{y})(\neg (P(x)) \lor Q(y)) \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow(\forall{x})(\neg (P(x)) \lor(\forall{y})( Q(y))) \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow (\forall{x})(\neg (P(x))) \lor(\forall{y}) (Q(y)) \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow\neg(\exists{x}) (P(x)) \lor(\forall{y}) (Q(y)) \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow (\exists{x})(P(x)) \Rightarrow(\forall{y})(Q(y))}\)

i widać, że wychodzi nie to, co chciałeś...

JK