Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
Vermax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 17 mar 2007, o 12:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 5 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: Vermax » 17 paź 2007, o 15:53

Mam całkę, którą proszę o sprawdzenie, gdyż prawdopodobnie zrobiłem gdzieś błąd:

\(\displaystyle{ L=\int_0^{\sqrt{\frac{2H}{g}}} \sqrt{v_0^2+(gt)^2}dt}\)


\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2+g^2t^2}dt=(ax+b)\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+A\int \frac{dt}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}\\ \frac{v_0^2+g^2t^2}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}=a\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+(at+b)\frac{g^2t}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}+\frac{A}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}}\)

Z tego wychodzi mi a=0,5; b=0; a A=0,5v^2

zaś:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}=\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|2\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+2g^2t|}\)

czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2+g^2t^2}dt=\frac{1}{2}t\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+\frac{1}2{}v_0^2(\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|2\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+2g^2t|)}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mizera03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 2 paź 2007, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bialystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 18 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: mizera03 » 17 paź 2007, o 17:20

\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2 + (gt)^2} dt}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{3tg^2} ({v_0^2 + (gt)^2})^{\frac{3}{2}} + C}\)
to mi tak sie wydaje ale nie jestem pewny... lecz moze ci to w czyms pomoc. sprawdz czy pochodna tego po t jest rowna funkcji podcalkowej, moim zdaniem tak ale nie jestem w tym taki dobry;/ hehe

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: luka52 » 17 paź 2007, o 18:29

\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2} \, \mbox{d}t = v_0 t \sqrt{1 + \frac{g^2}{v_0^2} t^2} \, \mbox{d}t}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ \sinh u = \frac{g}{v_0}t \iff \cosh u \, \mbox{d}u = \frac{g}{v_0} \, \mbox{d}t}\)
Całka (nieoznaczona) sprowadza sie do:
\(\displaystyle{ v_0 \frac{v_0}{g} t \cosh^2 u \, \mbox{d}u = v_0 \frac{v_0}{g} t \frac{1 + \cosh 2u}{2} \, \mbox{d}u = \frac{v_0^2}{g} ft( \frac{u}{2} + \frac{\sinh 2u}{4} \right) + C}\)
Zajmijmy się całką oznaczoną. Ponieważ:
\(\displaystyle{ u = \arcsinh \frac{gt}{v_0}}\), to gdy
\(\displaystyle{ t = 0 \iff u = 0\\
t = \sqrt{\frac{2H}{g}} \iff u = \mbox{arsinh} \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}}}\)

Otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ L = \frac{v_0^2}{g} ft( \frac{u}{2} + \frac{\sinh 2u}{4} \right) \Big|_0^{\mbox{arsinh} \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}}}}\)
Nie będę się tutaj zbytnio rozpisywał, dodam jedynie iż \(\displaystyle{ \sinh ft( 2 \mbox{arsinh} x \right) = 2x \sqrt{1+x^2}}\)
A wynik jaki mi wyszedł to:
\(\displaystyle{ L = \frac{1}{2g} ft( \sqrt{2gH} \sqrt{v_0^2 + 2gH} + v_0^2 \ln \frac{\sqrt{v_0^2 + 2gH} + \sqrt{2gH}}{v_0} \right)}\)

Awatar użytkownika
Vermax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 17 mar 2007, o 12:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 5 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: Vermax » 17 paź 2007, o 19:49

Wielkie dzięki, mam jeszcze jedną prośbę, czy mógłbyś zerknąć czy to co stworzyłem w moim pierwszym poście jest dobrze?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: luka52 » 17 paź 2007, o 20:22

Vermax pisze:\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{\sqrt{v_0^2+g^2t^2}}=\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|2\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+2g^2t|}\)
Tutaj popełniłeś błąd, który zaważył na poprawności wyniku.

Powinno być:
Vermax pisze:czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{v_0^2+g^2t^2}dt=\frac{1}{2}t\sqrt{v_0^2+g^2t^2}+\frac{1}2{}v_0^2(\frac{\sqrt{g^2}}{{g^2}}ln|\sqrt{g^2(g^2t^2+v_0^2)}+g^2t|)}\)
(pomijam fakt, że wypadałoby trochę "posprzątać" wyrazy )

Awatar użytkownika
Vermax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 17 mar 2007, o 12:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 5 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: Vermax » 18 paź 2007, o 09:44

Tak, tak Najładniej ten pierwiastek z g^2 na g^2 wygląda

Czemu bez "2"? To wprost z tablicy całek z Wikipedii liczyłem: http://pl.wikisource.org/wiki/Ca%C5%82k ... wymiernych

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: luka52 » 18 paź 2007, o 14:16

Ajj... coś mi się musiało pomylić wcześniej Jeszcze raz zróżniczkowałem Twój wynik i wychodzi na to, że jest dobry.
A tych dwójek to się spokojnie można pozbyć, bo "podchodzą" one pod stałą całkowania.

Awatar użytkownika
Vermax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 17 mar 2007, o 12:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 5 razy

Droga rzuconego poziomo kamienia z pewnej wysokości

Post autor: Vermax » 18 paź 2007, o 16:15

Ok, dziękuję

ODPOWIEDZ