Matematyka.pl

Witam, mam problem ze znalezieniem wzoru na sumę poniższego szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{x^n}{(n+2)4^n}}\)

To co zrobiłem do tej pory to zapisałem sobie ten szereg w takiej postaci i przyrównałem go do szukanej sumy czyli funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{1}{(n+2)}(\frac{x}{4})^n = f(x)}\)

Następnie poprzez całkowanie i liczenie pochodnej próbowałem jakoś pozbyć się tego \(\displaystyle{ \frac{1}{(n+2)}}\) i otrzymać szereg geometryczny z lewej strony równania, stąd wiedziałbym już jak policzyć sumę pierwotnego szeregu.

Jak dojść do postaci szeregu geometrycznego? A może powinienem był obrać kompletnie inną metodę?

Pomóż obie strony przez `(x/4)^2` i zrozniczkuj

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{x^n}{(n+2)4^n} = \sum_{n=0}^{ \infty }y\int_0^1 y^{n+1}\frac{x^n}{4^n} =\int_0^1y \sum_{n=0}^{ \infty } (\frac{xy}{4})^ndy[ = \int_0^1 \frac{y}{1 - \frac{xy}{4}}dy = \frac{4}{x}\int_0^1 \frac{y}{\frac{4}{x} - y}dy = -\frac{4}{x} + \frac{16}{x^2}\int_0^1 \frac{dy}{\frac{4}{x} - y} = -\frac{4}{x} - \frac{16}{x^2} \ln (\frac{4}{x} - 1) + \frac{16}{x^2} \ln\frac{4}{x}}\)

Matematyka.pl

Wzór na sumę szeregu

Wzór na sumę szeregu

Re: Wzór na sumę szeregu

Re: Wzór na sumę szeregu