Matematyka.pl

Przypomnijmy, ze \(\displaystyle{ (t) = (\cos t, \sin t, t)}\) jest dyfeomorfizmem \(\displaystyle{ \RR}\) na obraz \(\displaystyle{ (\RR)}\) (zwany linią śrubową). Znaleźć przestrzeń styczna i prosta styczna do linii śrubowej w punkcie \(\displaystyle{ (1, 0, 0)}\).

\(\displaystyle{ [ 0, \ \ 2\pi ) \ni t \rightarrow ( \cos(t), \ \ \sin(t), \ \ t) }\)

\(\displaystyle{ \gamma(0) = x = \left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} \right) = ( \cos(0), \ \ \sin(0),\ \ 0) = \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{matrix} \right). }\)

\(\displaystyle{ \gamma'(0) = ( -\sin (0), \ \ \cos(0), \ \ 1) = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ). }\)

Afiniczna przestrzeń styczna do rozmaitości M ( linii śrubowej) w punkcie \(\displaystyle{ x = ( 1, \ \ 0, \ \ 0)}\)

\(\displaystyle{ T_{(x)} M = T_{(1,0,0)} M = \left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{matrix} \right ) + t_{1} \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ) + t_{2}\left(\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right ) \subset T(\RR^3) }\)

Afiniczna prosta styczna do linii śrubowej \(\displaystyle{ M }\)

.......................................................

Czym jest przestrzeń styczna do krzywej? I jak ustaliłeś, że to właśnie ta?

Afiniczna prosta styczna w punkcie \(\displaystyle{ x }\)

\(\displaystyle{ L_{(x)} M = L_{(1,0,0)} M = \left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{matrix} \right ) + t\left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right )\in L(\RR^3). }\)

Dodano po 17 minutach 16 sekundach:
Niektórzy autorzy wolą traktować przestrzenie styczne do \(\displaystyle{ M }\) w różnych punktach jako rozłączne i za przestrzeń styczną do \(\displaystyle{ M }\) w \(\displaystyle{ x }\) uważają iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ \{x\} \times Im(d p)_{x} \subset M \times T(\RR^{n}).}\)