Matematyka.pl

Czy \(\displaystyle{ C_4 \oplus C_4 }\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_2 \oplus C_2 \oplus C_2 }\)? Odpowiedź uzasadnij

Pomysł o rzędach elementów

W \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_2 \oplus C_2 \oplus C_2 }\) występują elementy rzędu co najwyżej 2.
W \(\displaystyle{ C_4 \oplus C_4}\) występuje co najmniej jeden element rzędu 2.

Stąd jeszcze niewiele wynika. Myśl dalej

A czy skoro \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_2}\) nie jest izomorficzne z \(\displaystyle{ C_4}\), to \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_2 \oplus C_2 \oplus C_2}\) też nie jest izomorficzne z \(\displaystyle{ C_4 \oplus C_4}\)?

A dlaczego te dwie pierwsze nie są izomorficzne?

Podaj prosty argument

\(\displaystyle{ C_4}\) ma rząd 4, a grupa \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_2}\) zawiera element rzędu co najwyżej 2.

Ale też ma rząd 4. To nie jest dobry argument. Szukamy dalej

Dodano po 2 minutach 55 sekundach:
Tak naprawdę Twój argument brzmi tak : bo to ma koła a tamto jest zielone

Elementy \(\displaystyle{ C_4}\) to \(\displaystyle{ e,a,a^2,a^3}\). Więc element ma rząd 2 wtw, gdy \(\displaystyle{ a^{2i}=e}\), gdzie \(\displaystyle{ 2i}\) jest wielokrotnością 4.

\(\displaystyle{ C_2 \times C_2}\) produkt dwóch grup cyklicznych rzędu 2,
\(\displaystyle{ C_2 \times C_2}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ K_4}\) grupą czwórkową Kleina


\(\displaystyle{ C_2 \times C_2}\) nie jest grupą cykliczną i nie jest izomorficzne z \(\displaystyle{ C_4}\)

Dodano po 6 minutach 6 sekundach:
Niech \(\displaystyle{ C_2=\left\langle a\right\rangle =\left\{ e,a \right\} }\)
\(\displaystyle{ C_4=\left\langle b\right\rangle =\left\{ e,b, b^2, b^3 \right\} }\)

\(\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 =\left\{ e,a\right\} \times \left\{ e,a\right\} \times \left\{ e,a\right\} \times \left\{ e,a\right\} =\left\{ (e,e,e,e), (a,e,e,e), ..., (a,a,a,a)\right\} }\)

\(\displaystyle{ C_4 \times C_4=\left\{ e,b,b^2,b^3\right\} \times \left\{ e,b,b^2,b^3\right\}=\left\{ (e,e), (e,b), (e,b^2),...,(b^3,b^3)\right\} }\)

Czy z tego już widać, że \(\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2}\) nie jest izomorficzne z \(\displaystyle{ C_4 \times C_4}\)?

A nie prościej wskazać element rzędu 4?

a4karo pisze: 18 sty 2021, o 17:24 A nie prościej wskazać element rzędu 4?

W \(\displaystyle{ C_4 \times C_4}\) mamy element rzędu \(\displaystyle{ 4 - (b,b)}\) i element rzędu \(\displaystyle{ 2 - (b^2,b^2)}\)

W \(\displaystyle{ C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2 }\) nie ma żadnego elementu rzędu 4

Może tak być?

Oczywiście, to wystarczy