Matematyka.pl

Rząd elementu \(\displaystyle{ \left( \frac{m}{n} + \ZZ \right),}\) to najmniejsza taka liczba \(\displaystyle{ a \in \NN,}\) która \(\displaystyle{ an = e}\) (notacja addytywna).

Elementem neutralnym tej grupy jest \(\displaystyle{ \ZZ}\) zatem szukamy szukamy takiego \(\displaystyle{ a,}\) że \(\displaystyle{ a\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \ZZ.}\)

Z definicji mamy:
\(\displaystyle{ a\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \left( a\frac{m}{n} + \ZZ \right)}\)
Dla \(\displaystyle{ a = n}\) dostajemy \(\displaystyle{ \left( m + \ZZ \right) = \ZZ.}\)

Teraz sprawdźmy minimalność \(\displaystyle{ a}\). Załóżmy nie wprost, że istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ k < n}\), takie że \(\displaystyle{ k\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \ZZ.}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\), to mamy: \(\displaystyle{ \left( \frac{km}{n} + \ZZ \right).}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) nie jest wzglednie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\), to ponieważ \(\displaystyle{ k<n}\) istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ x > 1, y \ge m}\), że \(\displaystyle{ k\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \left( \frac{y}{x} + \ZZ \right),}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) są względnie pierwsze.